I. 7. 4i. 339. iSgS. 8119. l.\jZ9.\, a. b. c. d

et entre ceux-là il n'y aura que ceux qui auront ces deux propriétés :

>i La première, que ce soit un nombre premier;

(') En cette progression

f, fois „ 1 =, t,

Les nombres de la préfiédenie progression se trouvent encore autrement par la seule addition, comme en celle qui suit, eu laquelle il n'y aura que ceus de la colonne /; (]iii sont vis-ù-vis des impairs de la colonne g qui soient utiles.

La conslruetion do cette aisée par addition, car

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(ifi ŒUVRES DE FERMAT. — TRADUCTIONS.

I) La seconde, qu'il soit moindre de l'unité qu'un double quarré. » Or, par les lettres finales et autres propriétés des doubles quarrés, on peut voir aisément qu'il n'y en 3 aucun qui puisse satisfaire, outre 7, si le cube n'a plus de 60 lettres. Il se trouve par ces ' deux propriétés qu'il n'y a que deux nombres à examiner s'ils sont doubles quarrés pour aller jusqu'à la racine de ce cube de 60 lettres. Et cet examen est d'ajouter 1 et prendre la racine

■ quarrée de la moitié, car les autres ou sont composés ou leurs ' finales montrent qu'ils ne sont pas doubles quarrés moins i.

» M. Frenicle propose ce problème :

» Trouver tin nombre triangulaire, dont le sextuple plus 1 soit nombre I cube. » j'écris de l'autre part ce que j'ai pu tirer sur-le-champ de M. de

■ Frenicle, louchant les propositions numériques de M. de Fermât;

■ je vous supplie d'en faire part à M. Schooten, etc.

I) Voici la solution de M. de Frenicle pour les nombres suivants :

Pour i3 c'osl le quarré de. 64i) Pour 33 c'est le quorrc de <23>

■il - » .■.049

quarréquarréde. .

quarré de

)> Pour 6t, c'est le quarré de i 766319049, lequel quarré, étant » diminué de r, donne le quarré de 226153980. Or le quarré qui » satisfait à 61 a 19 (') lettres, quoiqu'il n'étoit besoin, pour le >i trouver par la méthode de M. Frenicle. que de 5418, 11/118,23718 » et 29718.

)i Pour 109, il n'y en a point au-dessous de -jS lettres.

)) Pour 127, c'est le quarré de 4730624. »

Là-dessus, Huygens ajouta ce qui suit :

<' Je vous laisse à examiner ce que Mylon m'a écrit des pensées

(I ) Lisez 17.

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COMMERCIUM DR WALMS. 367

» de M. Frcnicle sur la question proposée par M. Fermât, li parait » donner, pour la recherche des cubes dont il s'agit, certains abrégés » importants, plus peut-être que vous n'aviez cru qu'on pût les » trouver, mais il conviendrait de rechercher sur quelles raisons il " s'appuie. Quant à l'autre question, proposée par Fermât, trouver » un quarré dont le produit par un nombre donné, étant augmenté » de l'unité, etc., je l'avais résolue par une certaine règle indiquée 'I pour cela. J'estime que c'est la même dont Frenicle s'est servi pour 1) trouver les nombres que Mylon m'a envoyés, mais le travail était >i immense et tel que je n'aurais pas voulu l'entreprendre. »

Quelque temps après, savoir le iS mai, Mylon m'écrivait la lettre suivante (') :

'( Monsieur, j'ai fait voir à M. de Frenicle votre petit papier imprimé » dont il vous remercie. Un de ses amis veut ici faire imprimer le déti » de M. de Fermât et la solution du dit S"' de Frenicle. il y prétend » Joindre la vôtre avec les abrégés, exclusions et théorèmes de son » ami. J'ai prié qu'on ne le fit pas sans savoir votre volonté. Prenez » donc la peine de me mander, par la voie de M. de Zuyiechem (puis- » qu'il a cette bonté), si vous trouverez bon d'être nommé ou non, ou » si vous ne désirez pas que votre solution soit imprimée. Je tâcherai ;i de faire suivre en cela votre intention, étant, etc. »

Au-dessous se trouvait ce qui suit (^) :

(1 M. de Frenicle vous envoie ces théorèmes sur votre deniiisro ques- » tion :

•i- l. Pour les nombres pairs parfaits, il n'y ci\ a aucun que ceux u qui se trouvent par la méthode donnée par Euclide.

» 2. Pour les impairs, s'il y en a aucun, îl doit être multiple d'un » quarré par un nombre premier, pairement pair plus i.

' I ) Comparez CoiTCSpoiidance de Huygor \}) Comparez Correspondance de Hnygeii

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» Théorème, — H n'y a aucun qiiarré qui, multiplié par 19, surpasse » de l'unité un quarré multiplié par 7. »

Je répondis par la lettre suivante (' ) :

'1 Monsieur, puisque tous avez eu la bonté de me mander qu'un des amis de M. Frenicle veut faire imprimer le défi de M. de Fermât et la solution dudit S"" de Frenicle, et qu'il prétend d'y joindre aussi la mienne avec ses abrégés, exclusions et théorèmes que M. de Frenicle a inventés pour Ja raccourcir, je n'ai pas voulu manquer de vous en remercier et de vous écrire que tout ce qu'on fera me sera agréable, soit qu'on l'imprime ou non. Car, n'ayant employé guère de temps pour la chercher et remarquant qu'il eût fallu faire grande opération pour trouver les nombres requis, je me suis contenté d'y enseigner seulement les chemins par lesquels je voyois clairement que les mêmes nombres, s'il y en avoit plusieurs tels, se dussent trouver infailliblement, en cas qu'on voulût prendre la peine d'examiner généralement de suite tous les nombres qui y pourroient aucunement servir, sans penser particulièrement quels nombres en fussent exempts, de même comme a fait M. de Frenicle; de sorte que ma méthode n'étant que analytique, c'est-à-dire expliquant comment on peut par le moyen de l'Algèbre découvrir les chemins par lesquels ces nombres peuvent être cherchés, je serois d'avis que, si on la veut faire imprimer, l'on y ajoutât ces mots : » Moyen analytique de chercher ces nombres, trouvé par François de Schooten, ou bien

n Suit le mode de recherche de ces nombres par l'Algèbre, comme l'a trouvé Fr. de Schooten.

» Ce qui la feroit plus recommandable, seroit d'y ajouter de plus les abrégés, exclusions et théorèmes de M. de Frenicle, afin que cela ne semble pas être trouvé pour rien, mais y serve pour embellissement et plus grande perfection de cette matière. Je vous en

( ' ) Cette Lettre àe Selioolen esi en frain.'iiis, s^îiiif les mois imprimés on italique.

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COMMERCTUM DE WALLIS. 569

n laisse tout le pouvoir. Dans ma solution, je voudrais bien que ces » mots en fussent effacés :

» ne pouvant d'ailleurs reconnaître une voie plus abrégée pour parti venir sûrement au but, M et au lieu de ces mots

« à moins que M. de Fermât n'ait peut-être imaginé pour établir les 1) égalités quelques abrégés, etc.

" j'aimerois plutôt ceux-ci :

M à /noins que M. de Fermât n'ait peut-être imaginé pour établir les éga- » lités quelques abrégés généraux (qui en tout cas ne se sont pas pre- » sentes à mon esprit).

» En finissant, je demeuve, etc. «

De Lcyde, ce 29 de mai 1657.

Les choses en étaient là quand enfin parut à la lumière le Traité intitulé : Solution de deux problèmes, etc., et qui est, je pense, le même que celui dont vous m'avez parlé dans votre Lettre; le susdit ambassadeur prit soin de nous en faire expédier deux exemplaires, le 26 octobre, l'un pour moi, l'autre pour Huygens. Dès que je l'eus vu, je ne pus que m'étonner de l'orgueil de l'auteur, qui. dans son avantpropos, adressé à M. Digby, ne rougit pas de s'exalter en ces termes :

Très illustre Seigneur, voici que Paris donne cette solution de problèmes que ni vos Anglais, ni les Belges n'ont aucunement pu trouver; la Gaule celtique est Jîére d'enlever la palme à laNarbonnaise, etc.

et autres semblables plus loin ; comme si ce fût une affaire d'État que de connaître ces nombres et que chacun dût attacher tant d'importance à cette solution qu'il ne sût où employer plus utilement son temps. A voir le titre même, je n'ai pu ne pas ressentir une certaine indignation en voyant l'auteur de ce Traité y amener une certaine Inquisition sur ma solution; car je n'avais jamais attendu de France aucune Inquisition; et jc croyais même l'auteur trop sensé pour faire ou laisser faire, sur une chose aussi indifférente et de si faible impor- Febmat. — lu. 7^

Lance, rien de pareil conire quelqu'un qui ne lui avait, que je sache, fait aucune offense; qui, au contraire, avait témoigné (les plus grands égards pour lut.

Peu après que ce Traité fut parvenu dans mes mains, je reçus de la Haye une lettre de l'illustre Huygens, à qui, comme je l'ai dit plus haut, un autre exemplaire avait été envoyé de Paris. Dans cette lettre, il me disait entre autres choses (') :

« Les problèmes de Frenicle vous ont été, je n'en doute pas, en- » voyés par l'auteur. En les voyant, je ne puis que m'étonner de la » diversité des goûts des humains. »

Mais, quant à ce qu'y affirme l'auteur, que la plupart des mathématiciens tant d'Angleterre que de Hollande s'occupent de la solution de ces problèmes, en ce qui concerne les Hollandais, je ne connais guère personne qui ait jugé intéressant de les aborder; au contraire, les plus exercés, à qui je les avais proposés, n'ont semblé y reconnaître aucun usage ni aucun profit, et personne ne s'est trouvé parmi eux qui ait estimé assez la gloire à en retirer pour vouloir prendre la peine de rechercher la solution.

Vous me demandez, très honorable Monsieur, à quel point on s'est franchement comporté avec moi dans cette affaire; je crois que ce qui précède suffit pour vous le faire connaître. J'ai cru devoir vous tout exposer, avec plus de longueurs peut-être que n'en réclamait le sujet, surtout parce que j'ai compris à votre lettre que vous aviez l'intention de faire imprimer tant vos solutions que les lettres que vous avez reçues à cette occasion. J'estime que la mienne, ou au moins une partie, rentrera dans votre plan et dans votre narration. Si donc vous croyez devoir en imprimer quelque chose, vous ne le ferez certainement pas contre mon gré.

J'ai cru devoir communiquer à Huygens ce que vous avez remarque sur la lune de Saturne et sur l'aspect de cette planète; il y pourra

(') Le 23 iTuvembre iù5j [Correspondance de Huygens, n" 431).

reconnaître votre soigneuse et excellente application sur cette matière,

de laquelle il est lui-même, je crois, attentivement occupé pour le

moment. Mais, pour ne pas vous retenir trop longtemps, je mets fin à

cette lettre, en vous souhaitant tout bonheur et toute prospérité.

Adieu,

Votre très affectueux et très respectueux,

Fr. de Schooten.

Lcydc, le j8 mars i658.

St. grég.

Je suis heureux que vos remarques sur le texte de Pappus, d'après les manuscrits grecs, correspondent exactement âmes conjectures. Si je les avais connues plus tôt, j'aurais pris soin de faire imprimer en même temps ce véritable sens de Pappus, ce qu'il faut maintenant réserver pour la prochaine édition, s'il y a lieu d'en donner une. Cependant je vous remercie à cette occasion et vous recommande de tout cœur au Dieu qui peut tout donner. Encore une fois adieu.