carré; donc ; csl ie côté du cube demandé

ï88oïi> 467544

I) Les places vides dans ce Tableau sont colles qui ne correspondent

pas à des nombres premiers, comme le demande la règle; mais, ce

qui peut-être excitera votre étonnement, tous les nombres eorres-

' pondant à ces places sont divisibles soit par y, soit par i^. En tous

■ cas, si j'ai bien calculé, il est certain par là qu'au-dessous du

■ nombre cube de 1 1 5o, soit 1 52o 875 ooo, il n'y a qu'un seul cube, I 343, qui satisfasse à la question, en ne comptant toutefois que ceux

■ qui ont trois parties aliquoles, c'est-h-dire ceux auxquels ia règle I est appropriée.

» En effet, le premier nombre que nous trouverions ensuite est su- I périeur à i iSo, tandis que le coté 7 du cube 343, trouvé par le [ire-

Hosted by

302 ŒIJVRKS UE FERMAT. - TKADLM/f IONS.,

Il mier carré, est précisément celui du cube donné par l'autenr comme Il satisfaisant au problème.

I) Maintenant, quand je pèse vos paroles : PrenaiU ensuite, etc. Il (p. 556/7) ... sûrement au but, je n'ai aucun doute que le procédé i> que j'ai indiqué ne soit plus facile pour atteindre le résultat proposé. Il puisque je suis arrivé à i i5i en une heure et demie environ ; et, si » j'avais eu sous la main votre Catalogue des nombres premiers, je me Il serais épargné à peu près la moitié du travail. Aussi il vous sera » facile, si vous le jugez intéressant, de poursuivre la recherche pour » des nombres encore plus grands.

H Le calcul suivant indique comment j'ai trouvé cette règle :

» Soit a^ le nombre cube h trouver, a étant un certain nombre prci> mier.

n Les parties aliquotcs de ce cube sont i, a, a-, dont la somme i> avec «" fait i + a + «- + a', qui doit être égale à un carré.

Il Posons donc

Il divisant, de pari et d'autre, par i + « :

ji d'oii -^— - = i' ou « — I H — — fy-.

» Mais, puisque a doit être un nombre premier, - -- pourra être » divisé par 2 (haut et bas). D'ailleurs cette fraction, ajoutée à l'en- 11 tier « — I, ne pourra, comme il le faut, donner un carré, si son dé- II nominateur - + - n'est pas lui-même un carré. On tire de là une i> grande simplification, puisque tout d'abord il sutfif de faire que » — h - soit carré, c'est-à-dire que « + i = ^n ou a -— 20 — ^ ■ C'est Il de là que j'en viens à dire dans ma rfîgie : Qu'on prenne un carré Il tel que son double moins l'unité soit un nombre premier, etque je passe Il celui qui n'a pas cette propriété, comme ne pouvant servir pour le » but proposé. Cet artifice permet de diminuer singulièrement le tra-

Hosted by

COMMERCIUM DE WALLIS. o(i3

» vail, non seulement pour a', mais encore pour les autres expres- » sions. »

» Voilà, mon très cher ami, a quoi mon temps s'est dépensé, en » sorte que, pour la solution de l'autre problème, je n'ai rien qui vaille » la peine de vous être communiqué, non plus que pour les autres )> modes de chercher les cubes, soit para", a", a'^, etc., soit par «"i\ 1) dans les cas où les parties aliquotes ne forment pas une progression, » comme dans les précédents. »

Quand j'ai reçu cette Lettre, j'avais déjà envoyé la mienne à Paris; mais j'apprenais qu'entre i et i 020 873 ooo on ne peut trouver aucun cube, sauf celui déjà connu 343, en se servant de la voie la plus facile, celle de a'; les autres voies par a", a", etc. ou a't", a'i', etc., devant être regardées comme plus dilïiciles, nous avons pensé, moi et M. Golius, qui s'était également proposé de résoudre ces problèmes, devoir nous abstenir de recherches numériques ultérieures, jugeant que nous pouvions mieux employer de bonnes heures aux Mathématiques.

Peu de temps après, à savoir le 9 mars, j'ai reçu de la Haye une lettre du très noble Huygeos, laquelle en renfermait une autre à moi adressée de Paris par M. Mylon, jurisconsulte, et en même temps une page redemandée depuis par Huygens, qui m'écrivait là-dessus (' ) :

« Voici une lettre pour vous de notre ami Mylon, et aussi une page » dont il a voulu que je prisse également connaissance; je vous >< prierai, en raison des questions de M. de Fermât, de me la ren- " voyér à votre commodité. »

Voici ce que contenait cette page (^) :

Cl M. de Fermât a proposé à tous les arithméticiens par M. Digby,

» i. Trouver un cube (ro/rpage 3ii, lignes 21 à 25) la même

» propriété.

(I) F^oir CorrespODiJaDCC do Huygons, n" 373. (') F'oir Correspondance de Huygens, n" 374.

Hosted by

» 2. On demande aussi («oi/' page 3 u, lignes 26 à 27) .... fasse » un cube.

» M. de Frenicle a résolu ees questions et M. Martin, qui en a les )) solutions, les fait imprimer, à ce qu'on m'a dit.

» Depuis ( ' ) peu M. de Fermât a écrit ceci à M. de Frenicle.

[Suit la pièce LXXX de la Correspondance de Fermât, Tome II, page 333.]

» A quoi M. de Frenicle a envoyé l'ordre qu'il tient pour résoudre 1) ces questions, dont le calcul est extrêmement long. »

En répondant là-dessus à Huygens et à Mylon, je priai M, Mylon de présenter à M. Frenicle mes très respectueuses salutations et en même temps j'envoyai la page 426 de mes Exercitaùones, page que je venais d'avoir imprimée et où l'on peut voir combien je lui portais d'égards, à ce point que, pour ces questions auxquelles mes autres études ne m'avaient pas permis de consacrer assez de temps, je témoignais que je lui concédais volontiers la palme, Mylon répondit le 12 avril (-), et le 21 du même mois (^), Huygens m'envoya de la Haye cette réponse, 011, entre autres choses, il disait :

" J'envoie à M. de Zuylechem les pensées de M. Frenicle touchant » les propositions numériques de M. de Fermât et vos solutions, et le

» prie de vous en faire part. »

Voici quelles étaient ces pensées de M. Frenicle (^) :

« M. Frenicle trouve que c'est plus tôt fait d'examiner tous les Il cubes de suite pour voir ceux qui satisfont (qui est la question n proposée par M. de Fermât) que de se servir de la méthode de » M. Schooten. Néanmoins, pour s'en servir, il donne ce théorème :

)> 11 n'y a aucune puissance dont la racine soit un nombre premier

(1) Corrospondance de Huygens, n" 371.

(^) f^oiV Correspondance de Huygens, n" 382. (3) Voir Correspondance de Huygens, n° 386. (') Correspondance de Huygens, n" 383.

Hosted by

et l'exposant un nombre impairement pair, qui puisse avoir un quarré pour la somme de ses parties.

» Donc M. Schooten doit exclure ces nombres de sa métbode. Il en peut encore exclure beaucoup d'autres, savoir ceux où les proportionelles sont en multitude impaire, car leur somme ne sera point un quarré et n'a pas besoin d'être examinée, si le nombre de la proportion n'est pareil à 79, 199 et autres dont il se trouve fort peu, se trouvant plusieurs milliers de nombres où il n'y en a que cinq ou six.

Il Davantage le second nombre de la proportion continuelle doit être un de cotte progression (')