LETTRE XL

John Wallis à Vicomte Brouncker.

Très tllustre Lord,

J'entends que vous avez reçu, en sûreté, ma dernière lettre à envoyer à Paris. Quant aux démonstrations que vous me demandez, les voici :

La solution du problème de Fermât (de l'espace hyperbolique à partager dans un rapport donné) se démontre comme suit (^^. 5, p. 582) :

Si l'on prend sur l'asymptote les droites NH, NI, NK, NQ, NL, NM

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GOMMERCIUM DE WALLIS. 585

en proportion géométrique, que des points H, 1, K, Q, L, M on mène des droites parallèles h l'autre asymptote, l'espace hyperbolique ABHM est divisé en cinq parties égales, comme l'a démontré Grégoire de Saint-Vincent, Livre X, je crois. Par suite, si l'on a d'un côté deux parties, de l'autre trois, il est clair que QR divise dans le rapport 2

il 3. C. Q. V. D.

Quant à mon problème ou théorème de la figure en conque, en voici une brève explication (Jïg- d, page 583).

Soit la conclioïde AOO, dont P est le polo, A le sommet, CHH la règle; CAR le quart de cercle, DM une ordonnée quelconque du quart de cercle, DO, de la conchoïde; et le reste construit comme dans la iigure. Posons, pour plus de facilite dans le calcul,

IIO = CA^CH — CM — /■, GP=p, CD — c el PV=p + c — l,

par conséquent

A cause des parallèles et des triangles semblables, on a

CD c FC p „ PD l

itO " / ~ FH ~ pr '^ PO ~ Ir '

d'où

D'ailleurs, par Kuclidc, 1, 47.

CM* — cïj' -- ma = /-^ — c^

et

I)Ô'= PÔ'- PÏ)'= ^' - ;== — =-^' = ^^^^/^

Par conséquent.

Mais

DO — DM-hMO, DM = v'' = — c% donc Mû = >^- — — /

Fliimat. ~ Ul. 74

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!i86 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

(;ela posé, si dans des conchoïdes différentes AO, Âw, la quantité (^A reste toujours la même et que, par suite, r et c no changent pas, tandis que PC ou p devient -k, on aura toujours

Par suite, la somme de toutes les MO à celle des Mw, c'est-à-dire, en raison de la hauteur commune de part et d'autre, la figure RMAO sera h la figure RMAw comme jd à tu.

Si maintenant PC ou p reste, au contraire, sans changement, tandis que CA, donc CD changent, soit r en p et c en x, on aura

MO " ~~j '' a r

En effet, la somme des sjr^ — c^ est à celle des ^p^ — x^ , c'est-à-dire ic quart de cercle est au quart de cercle, comme r^ à p% ou en raison doublée des rayons. De même, on a toujours r = -• Par suite, la

somme des ■ est à celle des ■ ° - - , comme — à — ' c'est-à-dire

comme rà p.

Si enfin il y a changement tant dans la quantité PC que dans la

quantité CA, soit de /> en -û et de /■ en p, la somme des MO ou ■ p

sera à celles des (aw ou ^^ ~^. tu, c'est-à-dire la figure RMAO sera à la figure p[jLa(j> en raison composée de /> à tt et de r à p, c'est-à-dire dans le rapport ^ ou du rectangle PCA au rectangle T.y.a.. <;. y. r. i>.

Cela connu, il sera facile soit de partager dans un rapport donné la figure en conque RMAO, soit de construire une autre figure qui soit avec elle dans un rapport donné.

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COMMERCiUM DE WALLIS. 387

Enfin, vous me demande/, la solution d'un troisième problème qui ne concerne pas les lettres de Fermât, et qu'un de mes amis, au commencement de février dernier, me donna par écrit un soir que je le rencontrai par hasard. J'ai récemment appris du même ami qn'elle a été imprimée sous le titre :

H Les professeurs de Mathématiques les plus en renom pl les autres H célèbres mathématiciens d'Angleterre sont instamment priés par )) Jean de Montfert de vouloir bien résoudre ce problème. »

Il On donne, en nombres, dans une ellipse : les diamètres extrêmes, » la distance du centre à un point de l'axe transverse, et l'angle avec w l'axe d'une ligne qui le coupe en ce point. Trouver en nombres les 1 segments de cette ligne prolongée, s'il est besoin, et compris entre >i l'axe transverse et l'ellipse.

Il Étant données {fig. 7)

AC ^^ 1,00000, aC =0,76604, CB =o,5oooo, CBD:=7o",

» on demande BD et BF. "

Je crus que cette question était de mon ami, car il n'avait donné aucune indication contraire, et je ne lui demandai pas de qui elle était. Je la résolus le lendemain matin un peu plus généralement, à peu près sous la forme qui suit, car je ne m'en souviens pas exactement. Je ne m'en suis plus occupé, la chose ne me paraissant offrir ni grande difficulté, ni grande importance; au reste, à ce que j'apprends, elle a reçu de divers diverses solutions, que, du reste, je n'avais pas encore vues.

On donne dans une ellipse les diamètres extrêmes (ou bien deux diamètres conjugués quelconques avec l'angle de leur inclinaison) AP, ap. L'un d'eux, soit AP, est rencontré en un point donné B (soit en dedans de l'ellipse, soit en dehors sur le diamètre prolongé) par une droite DF qui coupe l'ellipse aux points D et F. Trouver les droites BD, BF.

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Des points D, F, au diamètre AP, menez les ordonnées DE, FE. Posons, pour la commodité du calcul,

AP — 'id, ap = 2ë, DE on FE^n, RG = i, CE - c.

Par conséquent, BE^\c— b\, différence entre BC et CE. Nous supposons, en effet, que FE et DE tombent au-dessus de la droite ap, en sorte que si DE tombe au-dessous de aCp, ii faut réputer CE comme nne quantité négative, ou bien, ce qui revient au même, on aura BE = c- rp b, ce qui ne troublera pas !e calcul.

Dans les triangles DBE, FBE, on donne encore les angles (l'angle en B étant donné et l'angle en E droit ou au moins donné), donc on donne le rapport des côtés, qui est celui des sinus des angles opposés ;

soit donc

DE(ou FE) "

-■ Comme BE = |c -

è| et DE (ouFE) = «,

Or, dans une ellipse, l'ordonnée DF ou FE est, ou bien moyenne proportionelle entre les segments AE, EP du diamètre (si aC = AG), ou est, à cette moyenne proportionelle, dans le rapport aC à AC. Donc, les carrés étant proportionels aux carrés.

ACj^dj

y/AË.ËF

«C(=â) l)E(ouFE = fl)

AE X EP = (lAP - CE) X (iAP + CE) = (<

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Donc

Puis donc que

m^b^fP~n''d^è^ 2m*bd^

Résolvant l'équation :

m'bd^±ndS^/m

■ ^C^.t:CE.

Il faut remarquer que des quantités ainsi désignées avec ambiguïté par les signes ±, la plus grande, correspondant au signe +, est la distance CE du point E le plus éloigné du centre; la plus petite, correspondant au signe — , est la distance CE du point E le plus proche, lequel est d'ailleurs situé au-dessus du centre vers B (comme le suppose la figure), si la quantité est positive, c'est-à-dire si

m^ bd^ > ndS V m' d^ -H /l' ô' — m' &' .

Il sera, au contraire, au-dessous du centre, si l'inégalité est renversée, et, par suite, la quantité négative, ou enfin si, par suite de l'égalité entre ces deux termes, ils se détruisent réciproquement, E sera au centre. Il peut même arriver, si B est pris en dehors de l'ellipse,

que

auquel cas l'équation est impossible, preuve qu'alors la droite rencontrant sous l'angle donné le diamètre prolongé au point donné B, est tout entière en dehors de l'ellipse, et que les points D et F n'existent pas. S'il y avait égalité, que m^b^ se détruisit avec m^d^ + n^B^, la droite ainsi menée toucherait l'ellipse sans la couper, et les points D,

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F coïncideraient. Tout cela est assez clair, pour qui connaît bien la nature des équations, et n'a pas besoin d'être plus longuement explique.

Ayant désormais les points B donné, E trouvé, on aura BE côte du triangle DBE ou FBE et, par suite, connaissant aussi tous les angles, comme on l'a dit, !e côté BD ou BF; on aura, en effet,

sinD(ouy) __ R E

sinE ~ lîD{ouBE)'

Voilà, très noble Lord, ce que, pour obéir à vos ordres, devait vous présenter

Le fidèle exécuteur de vos volontés,

John Wallis.

LETTRE XLL

Kenelh Digbï a m. Th. Whitk.

Très honoré Monsieur, je vous remercie humblement de votre lettre du 1*'' avril, et je vous assure que j'ai été très charmé de ce que vous m'avez envoyé de la part de mylord Brouncker et du docteur Wallis. Ils se sont maintenant montrés effectivement tous deux de très grands personnages. J'ai rencontré quelques-uns des plus capables mathématiciens, depuis que j'ai reçu leurs lettres; je les leur ai montrées et ils ont maintenant pour eux la plus grande vénération. En fait, c'est M. Frenicle qui a été l'occasion de ces visites, car il parlait si hautement de ces lettres qu'il a donné le désir de les voir; car, quoiqu'il ne veuille rien abandonner de ce qu'il a écrit pour les discuter, maintenant il divulgue à tout le monde l'estime qu'il en fait, ce que je tiens pour la marque d'un noble esprit. Je laisse ouvert mon paquet pour le docteur Wallis; vous pourrez le lire et le donner ainsi à mylord Brouncker, que je prie, une fois qu'il en aura vu le contenu, de le sceller et de l'expédier au Docteur.

COMMERCIUM DE WALLIS. 59t

J'ai écrit par la dernière poste à sa Seigneurie ; aussi ne veux-je pas le déranger encore par une lettre spéciale pour lui; mais je vous prie de lui présenter mes humbles respects. En vérité, ces dernières lettres de sa Seigneurie et du Docteur ont amené Un grand changement dans les opinions sur leur compte. On les regarde maintenant comme les plus grands mathématiciens du temps, et laissez-moi vous le dire en particulier, je demandais à M. Frenicle, combien il était estimé dans la balance contre l'un ou l'autre; il répondit aussitôt qu'il ne pesait pas devant eux. qu'il n'était qu'un mauvais écolier en présence des plus grands maîtres du temps. Je ne veux pas vous retenir plus longtemps, mais je reste

Votre tri^s humble et très affectionné serviteury

KliKELS! DiGTiY.

LETTRE XLil.

KBNEi.n DiGBï \ John Wallis.

Très honoré Monsieur, quoique je vous aie ennuyé d'une longue lettre (la quatrième de ce mois) par le dernier courrier, je ne puis encore m'empèeher de vous en adresser Une nouvelle aussi tôt; c'est un effet de l'excessif contentement que m'ont procuré les vôtres des 4 et i5 mars; je suis encore obligé de vous le témoigner en un ou deux mots. En vérité, depuis bien longtemps, rien ne m'a fait autant de plaisir que ces lettres, tant ce que vous avez envoyé en mémo temps à mylord Brouncker, que ce que sa Seigneurie m'a également écrit, avec tant de science, de profondes et subtiles spéculations. Vous venez de faire paraître ici nos mathématiciens comme des Samsons, qui peuvent aisément rompre et mettre en pièces toutes les cordes et tous les pièges des Philistins qui vous assaillaient chaudement. Et les plus grands hommes d'ici sont maintenant forcés d'avouer que l'Angleterre ne le cède à aucune nation du monde en ces noble's spéculations. M. Frenicle dit maintenant bien haut et bien fort combien il révère

VOS profondes connaissances; il se plaint seulement que vous l'ayez si longtemps laissé s'enfoncer dans son erreur, en badinant si longuement avec lui comme s'Ji eût été un joueur trop faible pour vous, avant d'en venir avec lui à votre meilleur jeu et à l'emploi de vos forces.

Il m'a promis de m'envoyer aujourd'hui une lettre pour exprimer ces sentiments dans ce sens. Aussi vais-je garder mon paquet ouvert jusqu'à la dernière heure, si sa lettre n'arrive pas avant, afin que vous puissiez l'avoir par ce courrier. Car je crois qu'il ne vous déplaira pas de voir un aussi grand personnage en cette matière reconnaître la vérité comme il devait le faire et s'y soumettre franchement. J'ai aussi envoyé vos lettres à M. Fermât, et, si je reçois son sentiment sur elles, je vous le communiquerai.

Je baise vos mains et reste, digne Monsieur,

Votre très humble .et très obéissant serviteur, Kf.>;klm Dir.nv.

LETTRE XLUI.

Freniole a. Kemîlm DiGUï.

J'ai lu les dernières lettres du clarissime Wallis, en date des 4 et i5 mars, que vous m'avez communiquées, très illustre et très honoré Chevalier. Elles m'ont clairement fait connaître maintenant combien Wallis a fait de progrès dans les Sciences mathématiques; mais mon esprit demeure en suspens quand je me demande ce qui a induit un homme aussi savant à vouloir être aussi longtemps méconnu par nous. Quel motif pouvait-il avoir, quand c'est de son devoir et de sa profession de faire connaître la Science? Je l'avoue, j'y ai été quelque peu trompé; mais, si j'ai commis quelque faute, elle doit lui être imputée, non à moi. Tel il se montrait, tel il devait être jugé, et pourtant ce jugement défavorable, je ne le portais pas de mon plein gré, mais à regret. Aussi, tant qu'il y avait lieu de blâmer, je n'aurais pas voulu

que le blàmc parût venir de moi, j'aurais désiré que mon nom fût caché et que ce que je disais parût un avis plutôt qu'un reproche; je ne voulais pas sembler m'être attaqué, même avec quelque raison, à une personne aussi illustre. Mais puisqu'il faut passer h l'approbation, ce n'est plus en secret et à contre-cœur, mais ouvertement et avec joie, que je paraîtrai, sous mon nom, à la face de tout le public savant. 3'avais jugé Wallis endormi, j'ai plaisir à l'apprécier éveillé. J'avais déjà vu un Hercule, mais jouant avec des jeunes filles; aujourd'hui je le contemple triomphant des hydres et des monstres; d'abord poursuivant de frivoles et puérils amusements, il accomplit maintenant des labeurs effrayants et gigantesques. C'est au reste le clarissime Schooten que visaient spécialement les problèmes sur les cubes à ajouter à leurs parties; mais il a été prévenu par la sagacité de l'illustre savant, par la puissance de cet Atlas auquel convenait bien une pareille preuve de sa force, qui doit se consacrer à de tels exercices et non pas à des minuties.

. Que la Hollande cède donc à l'Angleterre, Leyde à Oxford; si les Gaules Narbonnaise et Celtique pourraient disputer la palme au Kent et à l'Oxford de la Bretagne, si elles pourraient lutter à forces égales, ou même peut-être supérieures, ce n'est pas à moi à le décider; je laisse à d'autres à le juger. Jusqu'à présent le combat n'a pas été égal et les chances n'étaient pas les mêmes.

Je prie votre clarissime Correspondant de m'excuser si j'ai écrit à son sujet plus librement que je n'aurais dû. Vous savez ce qui m'y a poussé, vous savez que je ne voulais lancer contre lui aucune injure, aucune invective, que je no voulais rien ternir de sa réputation; j'ai tenu cachées les lettres dont il se plaint, j'ai refusé de les montrer même à mes amis qui les demandaient; j'aurais désiré, s'il eût été possible, que Wallis seul les lût. Vous savez que je n'ai agi que pour le stimuler, afin de pouvoir éprouver son mérite, et certes il l'eût mieux fait paraître, s'il eût donné les solutions des cubes avant d'avoir reçu l'opuscule latin que je vous ai dédié, très noble Seigneur, s'il n'eût eu par suite aucun secours. Car il ne manque pas do gens qui

594 ŒUVIïRS DE FERMAT.- ÏRADaCTIONS.

auront dos soupçons et qui peuvent dire que le clai'issime Wallis s'est fatigué à la recherche de ces solutions, mais que son labeur n'ayant pas réussi, pour produire au moins quelque chose, il a donné comme solution l'unité au lieu des nombres cube et carré qui auraient résolu réellement les questions; il a été facile, ajoutent-ils, à un homme, d'ailleurs sagace, de marcher par un chemin déjà frayé, par une voie battue et aplanie; lorsqu'il a pu voir les parties cubiques des cubes donnés et considérer les parties de la somme des mêmes cubes décomposés, il lui a été aisé de fabriquer sa méthode. Si je répète ces imaginations, ce n'est pas que je veuille rien ôter ni dérober h la gloire due à Wallis, mais tout cela ne parait pas absolument dépourvu de raison et on conjecture que mon opuscule ne lui a pas été sans utilité pour trouver sa méthode. Mais pour mes lettres, ce qui y a semblé méchant et dur pour Wallis a tourné à son avantage; car si mes piqûres ne l'eussent aiguillonné, si j'avais approuvé sa solution, peut-être, content de celle-ci, n'aurait-il pas été plus loin. Que votre clarissime Correspondant ne continue donc pas à m'en vouloir, comme si mes attaques ne lui avaient pas été vraiment utiles, ainsi qu'à tous les savants avec lui; qu'il avoue au contraire que j'ai bien mérité de lui et des autres, en dissipant par la bourrasque de mes chicanes les nuages qui couvraient encore à nos yeux la brillante lumière que possède Oxford et celle, non moins éclatante, qui resplendit sur Londres. Que le clarissime Wallis ne croie pas davantage que je porte envie à la gloire de quelqu'un, ni que moi, qui vénère le mérite où qu'il soit, méprise quelque nation, la vôtre surtout; car j'ai visité autrefois votre Angleterre et j'ai toujours eu pour elle un penchant particulier. J'ai même eu grande joie de reconnaître enfin l'erreur que je partageais avec quelques autres, si j'ai été tant soit peu fâché que votre clarissime Correspondant ait voulu nous cacher si longtemps ses forces. Qu'il ne pense pas enfin que je prise tant ce que je fais; au contraire, j'en fais d'ordinaire bien peu d'estime, ce qui peut amener que je m'étonne si d'autres, qui s'occupent des mêmes questions, n'y parviennent pas, et que j'aie honte de les voir

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parfois s'égarer bien loin. Mais assez là-dessus; venons à ce qui regarde la Seience.

Je regrette que votre clarissime Correspondant nous présente encore l'unité comme une solution légitime et ne veuille pas faire attention que, comme je l'ai souvent répété, si l'unité n'a pas de parties, elle ne peut leur être ajoutée. L'unité, dit-il, est un cube qui, ajouté à ses parties aliquotes, c'est-à-dire à rien, redonne i, qui est carré. Je réponds : Si l'unité peut être ajoutée à ses parties, celles-ci sont quelque chose; si elles ne sont rien, comment y aurait-il des parties? Je m'étonne comment un savant aussi perspicace s'en tient à une contradiction aussi évidente, surtout quand il s'agit de nombres, non pas d'irrationels; s'il se refuse à admettre ce que je dis, qu'il reste en paix, je n'insisterai pas davantage. Laissons donc une vaine dispute sans importance et venons à la défense de ce que me reproche votre clarissime Correspondant. J'ai à montrer brièvement comment j'ai pu regarder l'unité comme cube et comme carré, même comme un nombre, mais comment en cela je n'ai pas exercé une tyrannie à l'égard de Wallis en lu! refusant le droit d'en faire autant. Que l'unité soit universellement regardée comme un cube et comme un carré, je n'ai pas à le nier, mais il ne s'agit pas de cela, que je n'ai jamais contredit; mais qu'on la prenne pour un nombre, cela n'est pas accordé, et l'on conteste notamment qu'elle puisse recevoir l'appellation de nombre, alors qu'elle est solitaire, quoique, pour plus de brièveté, quand elle se trouve avec un ou plusieurs nombres, il soit préférable de dire nombres au pluriel et non, par circonlocution, tels nombres avec l'unité.

J'arrive désormais à ce qui regarde les parties aliquotes. Dans ce que j'ai avancé à ce propos, je voulais seulement indiquer que pour les nombres fractionnaires il n'y a pas proprement de parties aliquotes en nombre déterminé, qu'elles devraient être considérées comme en nombre infini ou indéfini et que par suite on n'a pas à les admettre. Si donc j'ai énuméré ^> -^ dans les parties aliquotes du nombre -^?

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je l'ai fait parce qu'elles ont avec leur entier une relation par nombre de même qualité que le nombre entier lai-même, puisque de part et d'autre on a un nombre joint à des fractions ; j'ai donc pensé qu'elles ne devaient pas être écartées. Pour m'expliquer plus clairement, le nombre -jrr = 5?7-: c'est donc le nombre 5 avec la fraction -j^.x les rela-

tifs des parties s-' —^■i „ sont d'autre nart -^i A--, -tt-! ou bien ^ 32 16 8 "248

iji-î 85-?i 43o' c'est-à-dire des nombres entiers avec des fractions ou de même nature que le nombre entier auquel se rapportent ces parties. Ces nombres doivent donc être admis comme parties k aussi bon droit que ceux donnés par le très noble, très savant, et très honoré par moi lord Vicomte Brouncker, ornement de la ville de Londres. Ces derniers ont en effet des relatifs qui diffèrent de leur nombre, savoir 343, 49» 7. nombres entiers alors que le proposé est entier avec une fraction. Si donc chacune des parties assignées par moi n'est pas vraiment une partie, mais fait plusieurs parties, le nombre aussi auquel elles se rapportent n'est pas une, mais plusieurs parties. D'un autre côté, je reconnais dans chaque nombre entier une propriété qui fait défaut aux parties aliquotes données par l'illustrissime Vicomte, c'est que chaque partie aliquote d'un nombre composé quelconque a comme relatif une autre des parties du même nombre ou du moins elle-même (si le nombre est carré), sauf toutefois l'unité qui a pour relatif non une partie, mais le nombre total. Or dans les parties indiquées dont il est question, la première ^ correspond au nombre 343, la suivante ^ au nombre 49. la dernière enfin au nombre 7. Ces relatifs, qui devraient être des parties du nombre, se trouvent plus grande que lui. Je rends grâces au clarissime Wallis de m'avoir averti d'une faute due à la négligence du typographe; peut-être sans lui ne l'aurais-je jamais remarquée; vous savez au reste que ce lapsus ne m'est pas imputable et que dans l'original vous pouvez lire le nombre exact et tel que le clarissime Wallis l'a corrigé. Cependant je dois craindre d'avoir laissé échapper des fautes du môme genre dans les solutions

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COMMERCIUM DE WALLÏS. 597

de la question du très savant Wallis, car je les ai données à la hâte, au fur et à mesure que je les trouvais, et sans les revoir; je demande donc qu'on veuille bien m'éxcuser s'il y a lieu; je substituerai les nombres véritables à ceux qui seraient fautifs.

Puisque enfin le clarissime Wallis a trouve comme moi, quoi<|ue un peu aidé pour les deux premiers, cinq cubes donnant un carré, je lui en envoie un sixième, le plus éloigné de tous, et qui est noté analytiquement page 4 de l'opuscule latin précité ; j'y ajoute un second carré. Mais comme il est peut-être occupé à de graves spéculations, pour ne pas le retenir longtemps à leur examen, je les donnerai en parties avec les parties des sommes relatives à chaque cube ou carré partiel.

Racines cubes partiels.

s somines des cubes partiels it de leurs parSies.

■es partiels.

Mais quelque plaisir que je prenne à abuser de votre patience, pour vous occuper si longtemps à cet entretien, très illustre Seigneur, pour

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o9S ŒUVRES DE FERMAT.— TRADUCTIONS.

qui j'ai autant de respect que d'affection, je n'oserais certes pas le

faire si je n'avais pas tant de confiance en votre bienveillance pour.

Très excellent Chevalier,

Votre très dévoué et très obéissant

B. Fremci-e de Bessy.