LETTRE XLIV

John Wallis a Kenei.m Digby.

Te VOUS rends très humbles grâces, illustrissime Seigneur, pour votre lettre du 8 mai, que j'ai reçue avec celle de Frcnicle y incluse. Si je ne puis revendiquer comme m'étanf dues les louanges dont vous m'accablez (car qui peut les mériter pour la solution de quelques problèmes d'Arithmétique ou de Géométrie?), je ne puis estimer peu de chose de recevoir de vous de tels éloges spontanés. Qu'ils viennent d'une appréciation dont chez de telles personnes le poids est toujours considérable, qu'ils ne soient dus qu'à l'aiTection, on doit également priser soit l'estime, soit l'amour des grands hommes, et si je puis du moins être assuré de l'une ou de l'autre, je dois le reconnaître avec gratitude. En tout cas je suis heureux, illustrissime Chevalier, d'avoir heureusement répondu, soit il vos désirs, soit aux questions de vos clarissimes Correspondants, et s'il reste encore quoique point où ils ne croient pas avoir encore entière satisfaction, comme j'ai résolu leurs principales propositions, et donné les méthodes de solution (que d'ailleurs le temps me manque), je ne crois pas que le reste vaille la peine de nous embarrasser d'escarmouches sans fin. Je ne doute pas en effet qu'ils ne pensent bien, au vu de nos solutions, que nous pouvons également résoudre le reste, pourvu que nous ayons le désir et le loisir de nous en occuper; et je ne crois pas non plus que vos très nobles Correspondants exigent que nous le fassions. Car ils ont négligé toutes nos questions, sauf celle des deux carrés qui.

Hosted by

COMMERCIUM DE WALUS. 599

ajoutés à leurs parties aliquotes, fassent la même BOinme, point sur lequel j'ai eu ample satisfaction ; ils ne doivent donc pas se fâcher si je ne réponds pas à quelques-unes de leurs demandes.

Cependant, pour ne pas paraître tergiverser, voici ce que je dirai à la hâte sur les deux questions qui restent dans la dernière lettre de Fermât.

En premier lieu, il demande deux cubes rationeis faisant la même somme que les deux donnés i et 8. Je réponds que les cubes du nombre

positif — et du négatif — donnent la même somme que i et 8, car

Le même moyen qui m'a donné un cube positif et un négatif ou, ce qui revient au même, la différence de deux positifs égale à la somme des deux cubes donnés, ce même moyen fournira aussi deux positifs; mais le couple ci-dessus s'est présenté d'abord. Certes, votre très savant Correspondant ne peut estimer plus diiïicile de trouver deux cubes rationeis qui fassent une somme donnée (possible) que deux qui fassent une différence donnée (possible), quoique le calcul puisse être plus long soit d'une façon soit de l'autre. Au reste, dans le cas proposé, il ne s'agit que de trouver deux cubes dont la somme fasse neuf fois un cube; en prenant une Table de cubes et en employant des abrégés qui se présentent d'eux-mêmes à un homme exercé, et analogues à ceux que nous avons déjà mis en œuvre pour le troisième problème de Fermât, il n'y a pas une grande difficulté pour qui veut entreprendre le calcul, car ces cubes, divisés par le troisième, donneront pour somme le nombre 9 = 8 + t. Telle est la méthode à employer pour toute somme ou différence possible de cubes à chercher.

En second lieu, il propose de démontrer ce théorème : Il n'y a en nombres aucun triangle rectangle dont l'aire soit un nombre carré. Voici comment je le prouve :

Dans la iigure ci-contre {Jig. 8), dont le tracé est immédiat, les côtés

Hosted by

du triangle rectangle BCD ne peuvent être énonçables en nombres, si AD et DE ne sont pas entre eux comme tics nombres plans semblables (autrement leur produit ne sera pas un nombre carré, et la racine BD

no sera pas énonçablo) ou comme des nombres carrés. Soient les nombres -ia^, ae^. Des lors CB, CD, BD seront proportioncls à a^+ e-, a- — e*, 2ae, et CD, ^BD le seront à a" — e^, ae. Dès lors, comme la différence de deux carrés et leur moyen proportionel ne peuvent être des plans semblables, leur produit ou l'aire du triangle ne peut être un carré, c. q. r. d.

Au reste, je n'ai rien appris du sentiment de Fermât sur nombre de nos lettres, car pour toutes celles qui ont suivi la date du 5 novembre, le silence est complet.

Quant à votre dernière lettre et k celle de Frenicle, je n'ai qu'à vous remercier pour mettre enfin un terme à ces discussions et aussi à l'ennui qu'elles vous ont occasionné hors toute mesure et dont je demande pardon pour.

Très illustre Chevalier,

Votre très humble, très obéissant et dévoué serviteur,

John Wallis.

Osford, 2o/3ojuiii ifij8.

Hosted by

APPENDICE AUX LETTRES PliÉCÉDENTES O.