AI):-- |(3AB+AE
Il fallait faire cède remarque, mais elle n'a pas besoin d'une plus longue explication.
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f^2 ŒUVRES DE FERMAT. [U, ih]
Seconde PROPOSITION. — Soient sur la droite AE (fig- It'-i) des [joints donnés en nombre quelconque, quatre par exemple. A, B, C, E, et un point Q en dehors de la droite Alï; on cherche un cercle, comme Ml, tel qu'en prenant sur ce cercle un point quelconque I, on ai! Al- -H IÎI-+ Cl- + EI--I- QI- égal à une aire donnée.
Fig. 43-
Abaissez sur la droite AË la perpendiculaire QR et prenez AD, fraction conditionnée de la somme AR + AB -i- AC -h AE (le cinquième dans ce cas où l'on donne cinq points). Elevez la perpendiculaire DO et abaissez sur elle la perpendiculaire QO. Prenez RF = DN, fraction conditionnée (ici le cinquième) de la droite QR, et soit l'espace donné égal à la somme AD- -H RD' -h BD- + CD- + ED- -h 2.
Faisons Z= 4DN^+ 0N-+ 5NM" (4 étant le nombre des points donnés sur la droite AE, et 5 le nombre total des points donnés). Je dis que le cercle décrit de N comme centre, avec NM comme ravon, satisfait à la question.
En effet, prenez sur ce cercle un point quelconque I, joignez AI, lîl, CI, El, QI. Menez VIX parallèle à AE et lY parallèle à CD; il est clair, d'après le corollaire de la proposition précédente , que /|DP-l-OI- = Z, carlepoint D joue le rôle de quatre points; et puisque DN = iOD, il est évident que 4DP -^ 01- = 4DN- + ON^ + 5NJP. Mais 4DN-4-ON-+-5MI-^Z par construction. Donc 4DI-+0I-^Z.
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Mais '(DP = 4DX^ + 4X1^ Pt 01" = 0X= +■ XF. Donc
Ajoutez de part et d'autre AD- + RD-4- BD^-hCU- -i-fiD-, vous aurez, dans le premier membre, l'espace donné, car, par hypothèse, il est égal h la somme de ces cinq carrés et de Z; dans le second membre : Ar--hBI- + CT--(- BI^ + Q|-. somme qui sera donc égale ii l'espace donné.
En efl'et, d'après le second lemme :
AD2+ RD= + BD^ + 0I)^+ KI)^ l- ■) l)Y^ =- W -^ U\ ^ ^ m '- h- CY^ -+ E\'^ ;
donc
AI)^+RD^ , BD^-[ CD'+fiD' + ^lV^+VQ^ l-Ôl)V^
^ AY^+ KY^+ lîYM- CY^-i- EY^-H 4IY^+ VQ^ Si, à chacun des {;arrés AY-, ItY", CY^', KY-, on ajoute IV-', ou aura AP^BP + CI= I KI---=AY^-hBY^+CY=-^EY^ i-ilIV. Donc
AB^ 4- RD^+ BD^ -r CD- + ED^ 4- 4 lY^ + VQ^ + 'i\)\' = AP -4 BP-^ CI- -t- lE^ h RY^ + VQ^
MaisRV^'(-=^'l') + 0^''=QT'- Donc
AD^-HRB^+BD^4-CD'-hEU-+4IY--i-VQ^-HÔD\- = AP -h BP -h CP 4- EP 4 QF.
Mais on a prouvé que le premier membre est égal à l'aire donnée;
donc
AP4-I!P-i-Cl=+EP-)-QP-~raire donnée. c. y. v. n.
On en déduira iacilcmcnt que l'aire donnée est égale à AN^+ ItîN"^-,.. CK' +- EN^+ QN^'^ 5N]VP, ce que nous avons omis comme évident.
Bien plus k même, artijicepeul s'appliquer à un nombre qurleonque de points.
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il (imVRES DE FERMAT. r.ii;,n|
Si par oxeiiiple on donne deux points Q, L {fig- 44) e» dehors dp la ligne, la construction s'achèvera comme on le voit, en prenant
AD = i( AR + AS + AR -^ AC + AE ), et en faisant
i'iiire données AI)^- h RD^+SD^-^ + ,11)^'
DN^KQlt^'-S),
On terminera de la même nianii;re, le point D jouant toujours le rôle
de tous les points donnés sur la droite AI-', et les points P, 0 jouant le rôle des points Q, L.
La méthode de construction et de démonstration est tndétinimciit la même.
Jïais, comme des cas multiples découlent de la différente position de la droite prise et passant par deux ou plusieurs points, mais pouvant laisser [es autres dans diverses positions de chacun de ses côtés, quoique pour chaque cas il y ait des abréviations spéciales, je préfère, comme spécimen du procédé, montrer plus généralement la construction.
Soient des points donnés en nomhro quelconque A, B, (], D, K, F
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{fig- 45) sur la même droite ou sur des droites différentes. Prenez dans le même plan une droite quelconque SR, qui laisse tous les points
Fig. 45-
donnés du même côté; abaissez les perpendiculaires AG, BH, ("I, l)K,
KM, FN, prenez GL fraction conditionnée (dans ce cas, \) de
