SOLUTION D'UN PROBLÈME PROPOSE PAR M. DE PASCAL

M. de Pascal a proposé : Dans un triangle, étant donné l'angle au sommet et le rapport de la hauteur à la différence des côtés, trouver l'espèce du triangle.

Soit AC {fig. 65) tiiKî droite donnée quelconque, sur laquelle on décrit le segment de cercle AIFC, capable de l'angle donné. La ques-

tion est ramenée à chercher un triangle dont on donne la hase AC, l'angle au sommet AIC et le rapport de la hauteur à la dilTérence des côtés.

Supposons le problème résolu ; soit AIC le triangle cherclié ; j'abaisse la hauteur IB, je prends le milieu F de l'arc AFC. Je joins FA, FG et FI, j'abaisse sur AI, TC les perpendiculaires CO, FK; de F comme centre, avec AF [)our rayon, je décris le cercle AIIGEC, que les droites CJ, FI

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prolongées rencontrent aux points G, ÏI, E. Enfin je joins GÂ. AFC au

centre est double de AGC à la circonférence. Mais AIC = AFC dans le

mêmfi segment. Donc AIC = a AGC. Mais AIC — AGG + IAG. Donc

IGA = lAG, Donc IA = 1G. Mais, FK étant perpendiculaire du centre F sur GC, on a GK = KG. Donc Kl = i(Gl - IG) = |(C1 - ÏA).

Mais le rapport p. .. est donné, donc ^ïf' et en multipliant de part et d'autre par AC, TTr-rî? ■ Mais AC . BI — AI . CO, le triangle AIC étant la moitié do chacun de ces deux rectangles. Donc le rapport .ç .., est donne.

Mais, par hypothèse, AIC est donne, COI est droit par construction.

Donc ACOI est donné d'espèce. Donc le rapport -j=^ est donné, donc