HI.IE ED, ,. ,-,,,■ 1)K DE. IF ^ HI.IE DE. IF
^^j^ = ^ (rapportdonne). Ma,s ^ = ^^^. Donc ^^^^ =^^^.
DoncDE.ir = m.lE.
Mais j'ai prouvé que le triangle AFC est donné d'espèce; la base AC
est donnée de grandeur; donc AF est donnée, donc son double HE. Aux rectangles égaux DE. IF, HI.IE, ajoutons de part et d'autre
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[72,73] FRAUMENTS GÉOMÉTRIQUES. fï9
DE.IH. OnauraDE.FH = Dl.ni. Mais.DE.FHétantdonncos, DE.FH le sera ; donc Dl . IH ; et ce produit appliqué sur la droite DH donnée de grandeur est en défaut d'une figure carrée ('); donc IH est donnée, et par différence IF. Maïs F est donné de position, donc le point I et tout le triangle AIC. Il est facile de remonter de l'analyse à la synthèse.
Pour dissiper tous les doutes, il est aisé de prouver que le triangle cherché est semblable au trouvé AIC de la seconde figure {fig. 6G)
(ce triangle peut au reste avoir son sommet des deux côtés du point F, à égale distance de part et d'autre du point F; il sera le même d'espèce et de grandeur, la position seule sera différente). Si le triangle cherché n'est pas semblable au trouvé, la base restant la même, son sommet tombera entre les points F, I. ou entre les points I, A (le côté n'importe pas, car du côté FC on peut faire la même démonstration avec le second triangle AIC.)
Soit d'abord le sommet entre A et 1, et supposons, s'il est possible, le triangle cherché semblable au triangle AMC. Je joins FM, et j'abaisse
la perpendiculaire FP; le rapport j^p sera donné par hypothèse ot par
conséquent égal a ^ que nous avons prouvé être égal au rapport
donné; ce qui est absurde.
(1) C'eat-à-Jire qiioDI.m = DILIK-IH^.
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70 ŒUVRES DK FERMAT. [73,74]
Eii effet, dans les triangles rectangles FMP, FIK, M= I, donc ces triangles FIK, FMP sont semblables; mais FM>FI, donc MP > IK.
Si le point M tombe entre I et F, on prouvera que la hauteur est plus grande et la différence des côtés plus petite et cela par le même raisonnement; donc le rapport est différent. Si M est du coté FG, on se servira du second triangle AIC, et la démonstration sera la même. H est ainsi inutile de s'arrêter plus longtemps à ces cas, et il est constant que le triangle cherché est semblable au trouvé AIC. Le problème est donc résolu.
Je propose en revanche, s'ils le veulent bien, tant à M. de Pascal qu'à M. de Roberval, de résoudre ce problème :
En unpoiiu donné sur une spirale de Galilée, trouver ta langenle.
M. de Roberval sait ce qu'est cette spirale.
J'ai résolu ce problème et j'en attends la solution d'hommes aussi savants qu'ils le sont; mais, s'ils le préfèrent, je leur communiquerai la mienne et môme une méthode générale pour les tangentes des lignes courbes.
Toutefois, pour ne pas paraître quitter les mains vides ce sujet des triangles, je puis proposer les questions suivantes :
Etant donnés la base, l'angle au sommet et la somme de la hauteur et de la différence des côtés, trouver le triangle.
Etant donnés la base, l'angle au sommet et la différence de la hauteur et de la différence des côtés, trouver le triangle.
Etant donnés la base, l'angle au sommet et te produit de la hauteur par la différence des côtés, trouver le triangle.
Etant donnés la base, l'angle au sommet et la somme des carrés de la hauteur et de la différence des côtés, trouver le triangle.
ainsi que beaucoup d'autres questions semblables que mes savanis correspondants résoudront toutefois plus facilement, je pense, que le
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m, 75] FRAGiMENTS GÉOMÉTRIQUES. 71
problème ou théorème proposé sur la tangente à la spirale de Galilée. [| faut observer que, dans les questions sur les triangles, toutes les fois que le problème peut être résolu par les lieux plans, il ne faut pas recourir aux solides, mais mes savants correspondants le savent assez, et il était sans doute inutile de faire cette remarque.
DEUX PORISMES
PoiiiSME I. — Etant données de position deux droites ABE, YUC ifig- G7), se coupant au point B, et deux points A, D sur la droite k]i\l, trouver deux points, par exemple 0, N, tels que si l'on en mène, brisée sur un point quelconque H de la droite YBC, une ligne OHN coupant aux points I et V la droite ABD, on ait AI x DY égal à une aire donnée, .ïflcoi>ABxBD.
