INTRODUCTION AUX LIEUX EN SURFACE

A MON A)H M. im CAliCAVl.

Pour coui'niiiii.'t' \'I /il rod action aux lieux pians et solides, M rcsic à traifor des lieux en sur/ace. Les anciens n'ont i'ait qu'indiquer ce sujof , mais n'ont pas enseigné de règles générales, ni même donné quelque exemple célèbre, à moins que ce ne soit enseveli depuis longtemps dans ces monuments de l'antique Géométrie où tant de précieuses découvertes ont été abandonnées sans défense aux insectes et souvenl anéanties sans laisser aucune trace.

Cette théorie est cependant susceptible d'une mélltod<^ générale, comme le montrera cette courte dissertation; plus tard, si nous en avons le loisir, nous éclaircirons davantage chacune des découvertes géométriques que nous avons jusqu'ici fait brièvement connaître.

Les caractères que nous avons cherchés et montrés dans les lignes comme lieux peuvent être de même recherchés pour les surfaces planes, sphériques, coniques, cylindriques ou pour celles des conoïdes et sphéroïdes (') quelconques, si l'on établit tout d'abord les lemmes constitutifs de chacun de ces lieux.

Posons donc le lemme suivant pour les lieux en surface plane :

1 . Si une surface quelconque est coupée par autant de plans quelconques que Von voudra, et que l'intersection de cette surface et de ces

(') Rappelons qii'Archimètle avait appelé conoïdes les paraboloïdcs ellipliques liition et les hypnrboloïtlcs rfe révolution (à deux nappes); sphifruldcs los %\Vi\\ï revoliition.

^-„. dorévoellipsoïdes rio

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[ll:;i LIRUX EN SURFACE. lOa

plans en nombre indéfini soit loujours une ligne droite, la surfaee en question sera un plan.

Pour les lieux en surface sphérigue :

2. Si une surface quelconque est coupée par autani de plans quelconques que l'on voudra, et que l'intersection de cette surface et de ces plans en nombre indéfini soit toujours un cercle, la surface en question sera une sjihère.

Pour les lieux on surTiicc de sjihéToidc :

3. Si une surface quelconque est coupée par autant de plans quelconques que l'on voudra, et que l'intersection de cette surface et d'un plan sécant soit tantôt un cercle, tantôt une ellipse, maù jamais une autre ligne, la surface en question sera un sphéroïde.

Pour les lieux en surface de conoïde parabolique ou hyperbolique :

4. Si une surface quelconque est coupée par autant de plans quelconques que l'on voudra, et que l'intersection commune soit tantôt un cercle, tantôt une ellipse, tantôt une parabole ou une hyperbole, inais jamais une autre ligne, la surface en question sera un conoïde parabolique ou hyperbolique.

Pour les lieux en surface conique :

5. Si une surface quelconque est coupée par autant de plans quelconques que l'on voudra, et que l'intersection commune soit tantôt une ligne droite, tantôt un cercle, tantôt une ellipse, tantôt une parabole ou hyperbole, et jamais une autre ligne, la surface en question sera un cône.

Pour les lieux en surface cyliiidriijue :

6. Si une surface quelconque est coupée par autani de plans quelconques que l'on voudra, et que l'intersection commune soit tantôt une droite, tantôt un cercle, tantôt une ellipse, mais jamais une autre ligne, la surface en question sera un cylindre.

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W^ ŒUVRES IIK FERMAT. [113]

Mais il si; préseiiEu très souvent des lieux pour lesquels les sections sont (les droites, des paraboles et des hyperboles et aucune autre ligne, comme le montrera bientôt l'analyse de la question. Il convient donc ou plutôt il est absolument nécessaire pour cette étude de constituer une nouvelle espèce de cylindres ayant pour hases parallèles des paraboles ou des hyperboles et pour côtés des lignes droites, parallèles entre elles, joignant les bases ainsi supposées, par analogie avec les cylindres ordinaires. Do la sorte, aucune section plane d'un tel i:yliudi'e ne sera un cercle ou une ellipse; ces nouveaux cylindres |jinirroiit d'ailleurs, comme les ordinaires, être droits ou obliques, suivant que le demandera l'analyse du lieu de la question proposée.

Je répète que les problèmes de lieux conduisent nécessaircmeut à tle tels cylindres; leur invention et leur défnnfion ne doivent donc pas être regardées comme inutiles.

Bien plus, avant d'aller plus loin, je dirai que la construction d'Archimède pour les sphéroïdes et les conoïdes ne suffît pas pour notre objet; les problèmes conduisent en effet à en considérer d'obliques et non pas seulement des droits.

Do ce que nous avons posé résultent tout d'abord de 1res beaux lieux en surface sphérique :

Si de points donnés en nombre quelconque cl dans des plans quelconques, on mène des droites concourant en un même point, et que la somme des carrés des droites menées soit égale à une aire donnée, le point de concours sera sur une surface sphérique ou sur une sphère donnée de position. Nous pouvons, en effet, dire ici une sphère, à l'imitation d'Euclide et des anciens géomètres, qui ont appelé cercle la circonférence et non l'aire du cercle; en tout cas, c'est sur une surface de cette nature que se trouvera le point en question.

Prenons en effet un plan quelconque donné de position et dans ci' plan, suivant les règles données ailleurs pour les lieux plans et solides, cherchons le lieu des points dont la somme dos carrés des dislances aux points donnés soit égale à l'aire donnée.

Cette recherche est facile : supposons le problème résolu et soi(

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[113,114] LIEUX EN SURFACE. lOo

dans !e plan considéré, la courbe NIP comme lieu {,fig' 89). Abaissons sur ce plan, des points A, E,C donnés par hypothèse, les normales AB, EF, CD. Le plan étant donné de position, ces normales AB, EF, CD, abaissées des points A, E, C donnés, seront elles-mêmes données, ainsi que leurs points do rencontre B, F, D avec le plan. Prenons sur le lieu NIP un point quelconque 1, et joignons Al, BI, El, IF, Cl, DI.

Les droites Al, El, CI joignant aux points donnés A, C. E un point I du lieu, la somme des carrés de ces droites est égale à l'aire donnée. Si l'on en retranche les carrés des normales AB, EF, CD, lesquelles sont données, comme nous l'avons prouvé, la différence sera BP+FP^-DF, somme qui dès lors sera donnée. Or les points B, F, D sont donnés dans le plan supposé, ainsi que nous l'avons vu; ainsi, on a des droites BI, FI, DI menées de points B, F, D donnés dans un même plan, droites concourant en un même point d'un lieu dans le même plan, et dont la somme des carrés est égale à une aire donnée; d'après un théorème d'Apollonius que nous avons restitué depuis longtemps, on sait que le lieu NIP est un cercle donné de position.

Une analyse absolument semblable donnera les mêmes conséquences pour tout autre plan que l'on prendra; tous ces plans quelconques, en nombre indéfini, donneront donc toujours des cercles comme lieux; d'aprbs le lemme 2, la surface cherchée sera donc une sphère.

En effet, quand nous cherchons un lieu en surface satisfaisant à une question, rien ne nous empêche d'imaginer que la surface cherchée FenHiT.-. 111. i4

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106 ŒUVRES DE FERMAT. [lu, 115]

est coupée par lo plan choisi. Mais ici la section ne peut être qu'un cercle, car nous avons prouvé qu'un cercle satisfait comme lieu à la même condition que la surface cherchée; il faut donc que ce cercle soit situé sur ladite surface. Il est donc clair que, dans le cas proposé, le lieu en surface est toujours coupé par un plan suivant un cercle, et par conséquent qae c'est une sphère.

On démontre de même les lieux suivants :

Si de points en nombre quelconque, donnés dans un ou plusieurs plans, on mène des droites concourant en un même point, et que la somme des carrés d'une partie des menées soit à la somme des carrés des autres dans un rapport donné ou dans une différence donnée, ou plus grande ou plus petite d'une quantité donnée que dans un rapport donné ('), le point de concours sera sur une sphère donnée de position.

Des artifices analogues feront reconnaître une infinité de très belles propriétés de la surface sphérique.

Soient, en nombre quelconque, des plans donnés de position; si d'un même point on mène à ces plans donnés, sous des angles donnés, des droites dont la somme des carrés soit égale à une aire donnée, ce point sera sur la surface d'un sphéroïde donné de position.

Faisons l'analyse en prenant, suivant la méthode indiquée, un plan quelconque donné de position; cherchons-y, suivant les règles pour les lieux plans et solides telles que nous les avons autrefois exposées dans le plan, le lieu des points dont la somme des carrés des menées aux plans donnés sous les angles donnés est égale à l'aire donnée.

La construction se présente immédiatement; le plan que nous avons pris est en efi'el donné de position aussi bien que les autres plans donnés; les intersections de ce plan choisi et des plans donnés seront donc également données. Les droites menées aux plans donnés d'un point quelconque du plan supposé recevront donc facilement une expression analytique. Si l'on fait la somme de leurs carrés et qu'on

{') C'est-à-dire, en général, soit iiiio fonction linéaire.

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