RENFERMANT L,V SOLUTION DES PROBLÈMES SOUDES PAR LES LIEUN

Après la méthode pour trouver les lignes servant de lieux, il reste à chercher comment la solution des problèmes solides peut se déduire de ce que nous avons dit et cela de la façon la plus élégante. Dans ce but, il faut restreindre cette faculté des quantités inconnues de varier en dehors de leurs limites; car dans les lieux il y a une infinité de points qui satisfont à la question proposée.

Le plus commode est de déterminer la question au moyen de deux équations de lieux; car deux lignes-lieux données de position se

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coupent mutuellement, et le point d'intersection, qui est donné de position, ramène la question de l'indéfini aux termes proposés.

Des exemples peuvent expliquera chose brièvement et clairement. Soit proposéa' + Aa* = .s"/'.

Il est commode d'égaler ciiacun des deux nieuilii'es de réquation au solide hae, en sorte qu'en divisant ce solide, d'un ciWé par «. ilc l'autre par h, la question soit ramenée h des lieux.

Puisque ainsi a' -^ ha^ = hae, o-a aura rt° + ia == t*'. Comme il est clair d'après notre méthode, l'extrémité de e sera sur une parabole donnée de position.

D'autre part z"b^bae; donc s"=«e, et, d'après notre méthode, l'extrémité de e sera sur une hyperbole donnée de position. Mais nous avons déjà prouvé qu'elle est sur une parabole donnée de position. Elle est donc donnée de position, et il est facile de remonter de l'analyse ii la synthèse.

La méthode sera la même pour tontes les équations cubiques; rai', en ramenant d'un côté tous les termes solides oii figure a, de l'autre le solide entièrement donné ou encore en laissant avec ce dernier des termes solides en a ou en a^, on pourra former une équation semblable à celle du cas précédent.

Soit maintenant un exemple d'équations biquadratiqiies :

Soit a" -\- b"'a 4-3*0^ — cV^, d'où o' = t/'" — b"'a — =-«^

Égalons ces deux membres ii^^é^^. Puisque «' = =-e^ en exti'ay;nil la racine carrée, a^^zc; l'extrémité de e sera sur une parabole donnée de position.

D'autre part, puisque d'" — b"'a ~ z--a'- = s^e'-, en divisant tous les

termes pars-, on a — ^^ — - — a^~e-. D'après notre méthode, l'extrémité de e sera sur un cercle donné de position. Mais elle est ausst sur une parabole donnée de position. Elle est donc donnée.

Le même procédé peut servir à résoudre toutes les équations biquadratiques; car, par la méthode de Viète (Cap. 1 : De emend.), on peut faire disparaître le terme affeclé du cube, et eu disposant d'un coté le

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98 ŒUVRES DE FERMAT. [105, lûGj

bicarré inconnu, do l'autre le veste des termes, on résoudra la question par une parabole et un cercle ou une hyperbole.

Soit proposé comme exemple de trouver deux moyennes proportionnelles.

Soient deux di'oites, h la plus grande, d la plus petite, entre lesquelles il faut trouver deux moyennes proportionnelles.

Soit a la plus grande de ces moyennes, on aura a' = b'^d. Égalez les deux termes à bae. On aura d'un côté a- = be, de l'autre ae = bd.

Par suite la question se résoudra par Tintersection d'une hyperbole et d'une parabole.

Soit une droite quelconque OVN {fig- 88) donnée de position, et le point 0 donné sur cette droite. Soient données les droites b eld, entre lesquelles il faut trouver deux moyennes proportionnelles. Supposons OV = a, et soit e la droite VM perpendiculaire à OV.

D'après la première équation (a- = he), il est clair qu'il faut décrire, avec le point 0 comme sommet, b comme paramètre et un diamètre parallèle à VM, une parabole dont les ordonnées soient parallèles k OV : cette parabole passera par le point M.

D'après la seconde équation (hd=ae), soit pris sur la droite OV un point quelconque N; élevoz-y la perpendiculaire NZ, et soit ONxNZ = W. Élevez aussi la perpendiculaire OR. D'après notre méthode des lieux, il faut décrire une hyperbole passant par le point Z et ayant pour asymptotes RO, OV; elle sera donnée de position et passera par le point M.

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Mais la parabole déjh décrite est aussi donnée de position et passe

parle même point M; donc le point M est donné de position. Si on en

abaisse la perpendiculaire MV, le point V est donné, donc la droite OV

qui est la plus grande des deux moyennes proportionnelles que nous

cherchons.

Ces deux moyennes peuvent donc être trouvées par rinlerseetioi)

d'une parabole et d'une hyperbole.

Si l'on veut élever la question ii une équation biquadratique, qu'on

ruuUipI ie tous les termes par a :

En égalant, d'après la méthode précédente, chacun des deux membres à b'-é-, on aura deux équations, à savoir à' = be, et da = e-, qui donneront chacune une parabole donnée de position. La construction des moyennes proportionnelles se fera donc ainsi par l'intersection de deux paraboles.

Ces deux constructions se trouvi-nt dans Eutocius sur Arehimède; elles s'expliquent immédiatement par cette méthode.

Il est donc inutile d'employer les plarapléroses climactiqaen de Viète, pour ramener à des équations quadratiques les biquadratiques au moyen de cubiques à racine de deux dimensions. Car il est elaii' que les biquadratiques se résolvent avec la même élégance, !a même facilité et la même rapidité que les cubiques, et il n'est pas possibli?, je crois, d'imaginer une solution plus élégante.

Pour faire ressortir l'élégance de cette méthode, voici la conslruciLoii de tous les problêmes cubiques et biquadratiques au moyen d'une parabole et d'un cercle.

Soit a* — z"'a = d'", d'oii a' = z"'a -+- d'".

Formez le carré de la différence de a- et de b'- (ou d'un auti-i- carré quelconque) : ce carré sera a" ^ b* — ib-à^.

Ajoutez, comme supplément, à chaque membre de l'équiitiou : b'' — 'j-b'-d', on aura

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iOO ŒUVRES ])E FERMAT. |1ÛS, 10!)|

Soit 2b'- =^ /r, ot égalons chaque inombre de l'cquiilion à n-e'-.

On aura d'un côté, en prenant la racine carrée, a- — b- = ne et par suite l'extrémité de e sera sur une parabole, d'après notre méthode.

De l'autre côté, on aura — — a*+ ^ h ^ — c-, cl, d'apris nnlrt-

méthode, l'extrémité de e sera sur nu cercle.

Ainsi la question est vésolui.' par le Iracé d'une i^arahole t'A. d'un rercic.

t^ette méthode s'étend facilement à tous les cas, tant cubiques que hiquadratiques. Il faut seulement prendre soin d'avoir dans un membre a", dans l'autre le reste des termes quelconques, à condition qu'il n'y en ait pas en a'. Mais par Vexpurgation de Viète on peut toujours. dans une équation biquadratique, faire disparaître le terme affecté du cube ; la méthode reste donc la même dans tous les cas.

Quant aux équations cubiques, la méthode de Vie te en fait disparaître le terme affecté du carré; en sorte qu'en multipliant tous les termes par a, on aura une équation biquadratique, où aucun terme ne sera affecté du cube; elle se résoudra donc par la méthode qui précède.

Il faut seulement prendre soin que, dans la seconde équation, on ait dans un membre a*, dans l'autre e^, sous des signes contraires, ce qui est toujours très facile.

Pour parcourir tous les cas, soii encore

Formez le carré de a- inoins un carré quelconque donné, soit b^, vous aurez a'- -h b'- ^ '>.a-b'\ Ajoutez, comme supplément aux deux membres de l'équation, b'' — ^a^b^, on aura

a' + il - 2 ,1^ i^ — i^ — 2 «' !>'' + s" «î ~ s"'d.

Pour faciliter la division, i! faut, dans le second membre, prendre la différence entre 2,b" et s", soit par exemple h*, et égaler chacun des deux membres kn^e", en sorte que l'on ait : d'un côté, a^ — b^~ne; de I autre, -^ — a ~ = e- .

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[100,110] LIKIIX PI.WS ET SOLIDES. 101

II faut remarquer ici qu'il faut avoir 2//> s", autrement iï'^ u'iuiraii pas le signe —, et, au lieu d'un cercle, nous trouverions une hyperbole. Mais le remède est facile. Eu effet, nous prenons h- arbitrairement, par suite rien n'est plus simple que de prendre son double supérieur à 3". D'ailleurs notre méthode des lieux établit qu'on a tonjours un cercle lorsque dans un des membres de l'équation se 1 couve un des carrés inconnus avec le signe +, et dans l'autre uiemlirc, l'autre carré inconnu avec le signe — .

Prenons, pour exemple de cette construclioit, rinvcnlion dos deux niovennes. On a «'= b'd, d'oii a" — b^dn. Ajoutez de part (*l d'an Ire // — ib'-'a-, il vient

„'.-.u b^— -ib^-ce^ h'-+ b^da— 2a' b-.

Soit ■2b' = n^, et égalez chacun des deux membi'es it n-e^.

On aura d'un côté : a^ — b'^ = ne; l'extrémité de e est sur une (lara-

bole. De l'autre : h-a — a-'=e^; l'extrémité de e sera sur un

cercle.

Celui qui aura étudié ce qui précède n'essayera pas de ramener aux problèmes plans, c'est-à-dire de résoudre par les droites et le cercle les questions des moyennes proportionnelles, de la trisecliou de l'angle et autres semblables.

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2 ŒUVRlïS IIE FERMAT. [1