PREMIERE PARTIE

Ce peut être un paradoxe que de dire que, même en Géométrie, Descartes n'était qu'un homme; mais, pour le reconnaître, que les plus subtils Cartésiens examinent s'il n'y a pas une imperfection dans la distribution faite par leur maître des lignes courbes en certaines classes ou degrés, et si l'on ne doit pas adopter un classement plus satisfaisant et plus conforme aux véritables lois de l'Analyse géométrique. Nous pensons pouvoir soulever cette question sans diminuei' en rien la gloire d'un homme aussi illustre, car il est de l'intérêt de Descartes et de tous les Cartésiens que la vérité, dont ils se portent h bon droit comme les plus déclarés partisans, quoique parfois elle soit en désaccord avec leurs opinions, devienne manifeste pour tous, ou, si cette expression est trop générale, au moins pour les géomètres et les analystes.

La distribution en classes déterminées des problèmes de Géométrie aparu nécessaire, non seulementaux anciens, mais aussi aux analystes

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ilO ŒUVRES DE FERMAT. [118, liO]

modernes. Qu'on propose d'abord les équations

a + d^r-b ou rt'+èn = 3".

Dans les termes de la première, l'inconnue ne dépasse pas la racine ou le côté, dans la seconde on trouve la seconde puissance ou le carré du côté inconnu; et toutes deux constituent ensemble le premier genre des problèmes, le plus simple. Ce sont là en effet les problèmes que les géomètres ont l'habitude d'appeler />/««*.

Le second genre de problèmes est celui où la quantité inconnue s'élève h la troisième ou à la quatrième puissance, c'est-à-dire au cube ou au bicarré. La raison pour laquelle deux puissances consécutives ne constituent, quoique différentes de degré, qu'un seul et même genre de problèmes, est que les équations quadratiques se ramènent facilement aux simples ou linéaires, par un procédé que les anciens connaissaient aussi bien que les modernes, et se résolvent donc facilementavec la règle et le compas. De même les équations du quatrième degré ou biquadratiques se ramènent aux équations du troisième degré ou cubiques, par la méthode qu'ont donnée Viète et Descartes. C'est en effet l'objet de cette subtile />ara/ï/e'rose climatique de Viète que l'on peut voir dans son traité De emendatione œquationum, Chap. VI, et l'artifice dont use Deseartes en pareil cas est tout à fait semblable, quoiqu'il l'énonce en termes différents.

De même l'analyste à la façon de Viète ou de Deseartes pourra, quoiqu'un peu plus difficilement, ramener l'équation bicublque à la quadratocubique ou, si l'on vent, l'équation du sixième degré h l'équation du cinquième. Mais de ce que, dans les cas précités, où il n'y a qu'une seule quantité inconnue, les équations de degré pair s'abaissent aux équations du degré impair immédiatement inférieur. Descartes a affirmé avec confiance (page 323 de la Géométrie qu'il a publiée en français) qu'il en était absolument de même pour les équations renfermant deux quantités inconnues. Car telles sont toutes les équations constitutives de lignes courbes; or, dans ces équations, non seulement la réduction ou abaissement en question ne réussira pas,

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[1?0, lîit DISSERTATION EN TROIS PARTIES. 111

comme i'a affirmé Descartes, mais encore les analystes lu rcconnaîtroiU absolument impossible. Qu'on propose, par exemple, l'équation constitutive de la parabole biquadratique

Par quel moyen abaissera-t-on au troisième degré cette équation du quatrième? QoeWe paraplérose climatique pourra-t-on imaginer?

Je désigne comme Viète les quantités inconnues par des voyelles, car je ne vois pas pourquoi Descartes a fait un changement dans une chose sans importance et qui est de pure convention.

Cette discussion ou cette remarque n'est nullement oisive ou inutile. comme le prouve la méthode générale par laquelle je ramène tous les problèmes, quels qu'ils soient, à un certain degré de courbes.

Si l'on propose un problème où la quantité inconnue s'élève à la troisième ou à la quatrième puissance, nous le résoudrons par les sections coniques ,qui sont du second degré. Si l'équation s'élève à la cinquième ou à la sixième puissance, nous pouvons donner la solution par des courbes du troisième degré; si l'équation monte à la septième ou à la huitième puissance, nous donnerons la solution par des courbes du quatrième degré, et ainsi de suite indéfiniment par un procédé identique. Il est évident par là que la question soulevée ne porte pas sur les mots, mais bien sur la chose elle-même.

Soit proposé, par exemple :

dans les deux cas, le problème sera résolu par les courbes du troisième degré ou cubiques, ainsi que Descartes l'a fait au reste. Mais si l'on propose

a' Y- b^^^ a ^: z""' , ou encore a? -\' h"' a —. z^" ,

nous résoudrons le problème par des courbes du quatrième degré ou biquadratiquos, ce que Descartes n'a pas fait ni jugé possible, puisqu'il a cru que dans ce cas il fallait nécessairement recourir à des

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courbes du cinquième ou sixième degré. Or c'ost une faute en vraie Géométrie que de prendre, pour la solution d'un problème quelconque, des courbes trop complexes ou d'un degré trop élevé, en laissant les plus simples qui conviennent, et Pappus avant les modernes avait déjà remarqué que c'est pécher réellement contre les règles de la Géométrie que de résoudre un problème par un genre de courbes qui ne lui convient pas. Pour éviter cette faute, il faut corriger Descartes et ramener chaque problème à son rang particulier et naturel.

Page 322, Descartes affirme encore nettement que les courbes naissant de l'intersection d'une règle et d'une autre droite ou courbe sont toujours d'un degré ou genre plus élevé que la droite ou courbe de la figure, page 32i, dont elles dérivent (^^. 90).

Mais imaginons, par exemple, au IJeu de la droite CNK de ladite ligure, page 32 1, une parabole cubique ayant pour sommet K et pour

axe indéfini KLBA; qu'on acbève la construction dans l'esprit de Descartes, il est clair que l'équation constitutive de cette parabole cubique sera

a^= /Ae.

On reconnaîtra aussitôt que la courbe EC provenant de cette supposition n'a qu'une équation biquadratique; donc la courbe biquadratique est d'un degré ou genre plus élevé que la courbe cubique, selon la règle énoncée par Descartes lui-même, alors qu'il affirme au con-

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f[î3] DISSEHTATION EN TROIS PARTIES. Ii;i

traire expressément (p. 323) que la courbe biquadratiquo etia cubiquii sont d'un même degré ou genre.

Quant à notre métliode qui réduit tous les problèmes à l'infini, à savoir ceux d'équations de la troisième et quatrième puissance, à des courbes du second degré; ceux de la cinquième et sixième puissance, au troisième degré; ceux de la septième et huitième puissance, au quatrième degré, et ainsi de suite indéfiniment, nous ne différerons pas de ia communiquer à tous ceux qui regarderont comme un tort de dissimuler au préjudice de la vérité une erreur quelconque, fùt-cllc de Descartes.

Qu'on ne s'arrête pas à ce que les problèmes qui montent à la seconde puissance, et qui sont de la même espèce que les problèmes du premier degré (étant appelés plans comme eux), ont besoin du cercle, c'est-à-dire d'une courbe du second degré. Cette objection trouvera sa réponse spéciale quand nous donnerons notre méthode générale pour résoudre tous les problèmes absolument par les courbes qui leur (îonvicnnent.

SECONDE PAimE DE LA DISSHRTATION.

Pour satisfaire à l'engagement que j'ai pris publiquement, je donne ma méthode générale pour la solution des problèmes quelconques par les courbes qui leur conviennent en propre.

J'ai déjà dit, dans la première Partie de cette Dissertation, que les problèmes de deux degrés immédiatement consécutifs, par exemple 3 et 4. 5 et 6, 7 et 8, g et 10, etc., ne réclament qu'un seul degré de courbes. Ainsi ceux des puissances J et 4 se résolvent par des courbes du 2" degré; ceux des puissances 5 et 6, par des courbes du 3* degré, etc., à l'infini.

Voici la manière d'opérer. L'équation donnée quelconque, qui ne renferme qu'une quantité inconnue, sera d'abord ramenée au degré le plus élevé, je veux dire le pair; puis on la débarrassera du terme où entre l'inconnue au premier degré. Cela fait, il restera une équation

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ll'f ŒUVRES DE FERMAT. [124, i!>5]

entre la quantité connue ou le ternie donné d'une part, et de l'autre un membre inconnu dans chaque terme duquel entrera le carré de la racine inconnue. On égalera ce membre inconnu à un carré dont on formera la racine de façon qu'en égalant ledit carré avec le membre inconnu, on puisse éliminer autant que possible de degrés les plus élevés de la racine inconnue. Il faut d'ailleurs avoir soin que les divers termes de la racine du carré à former ainsi soient tous affectés de la racine ou quantité inconnue, et que le dernier de ces termes soit, en outre, affecté aussi d'une seconde inconnue. On aura ensuite par une simple division d'un côté, par l'extraction d'une racine carrée de l'autre, deux équations constitutives de courbes convenant au problème donné, et leur intersection résoudra la question par la méthode que nous avons appliquée dés longtemps à la solution des problèmes par les lieux.

Soit, comme exemple : o" -h ba' -h ="a' + d'"a^ h- m'^«- = n".

Tous les problèmes qui montent à la cinquième ou sixième puissance peuvent être ramenés à cette forme. Car il sulRt pour cela ou d'élever de la cinquième à la sixième puissance, ou de débarrasser celle-ci du terme en a, toutes cboses sufTisamment enseignées par Viète et Descartes.

On formera le carré de la racine : fà -f- hae, et on l'égalera au premier membre de l'équation, On aura ainsi

Supprimant de part et d'autre a" et divisant par a', ce que l'on pourra toujours faire en observant la précaution indiquée pour l'emploi de la méthode, il reste

équation qui donne, comme on le voit, une courbe du troisième degré.

Mais, pour avoir la seconde équation et arriver facilement à la solution du problème, il faut égaler aussi à l'autre membre de l'équation, n'\ le carré de à' 4- bae.

Donc, en extrayant la racine carrée et appelant, par exemple, n" la

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[125, m] DISSERTATION EN TROIS PARTIES. 115

racine carrée de n"', qui s'obtient facilement, oii aura

n'" -■= ft-' -H bae, racine t!u carré égalé au premier membre de la première équation donnée.

Nous avons donc une seconde équation qui donne également une courbe du troisième degré. Qui ne voit maintenant que l'intersection des deux courbes trouvées donnera la valeur de a, c'est-à-dire la solution du problème proposé?

Si le problème monte à la septième ou huitième puissance, on U: posera d'abord sous la forme d'une équation de la huitième puissance, puis on débarrassera celle-ci du terme affecté de la seule racine. Cela fait, soit après cette réduction permise et confirme à la méthode : a' + l/a^ -I- rf" «= -1- n'" a' -h m"a^ -i- ^"«^ + r^' a'' — i''"'.

On formera le carré à égaler aux deux membres do cette équation snr la racine

J'ai formé le second terme do cette racine du carré de fa(,;on que les deux puissances les plus élevées de l'inconnue a s'éliminent dans l'équation, ce qui est très facile. En égalant le carré de cette racine au premier membre de l'équation proposée, supprimant les termes communs et divisant par a-, on aura d'un côté l'équation constitutive d'une courbe du quatrième degré. Puis on extraira la racine carrée du second membre de l'équation proposée en premier lieu ; soit p" cette racine de ="'", on l'égalera à a^ -\- r^ha" + d"ae. Cette équation donnera une autre courbe du quatrième degré et l'intersection de ces deux courbes donnera la valeur de a, c'est-à-dire la solution du problème proposé.

Il faut remarquer, au reste, que, dans les problèmes qui nionteiil aux puissances 9 et 10, on devra former la racine du carré de façon qu'elle comprenne au moins quatre termes, de façon à éliminer les trois degrés les plus élevés de l'inconnue.

Pour les problèmes montant aux puissances 11 et 12, la racine Au carré à former doit avoir au moins cinq termes, dont on disposera de

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116 ŒUVRES DE FERMAT. [Ufi, iîî]

façon à cliniinor les quatre degrés les plus élevés de l'inconnue.

Le procédé pour former ainsi la racine est toujours très simple; les analystes trouveront à l'essai qu'il sutïit absolument de la division ou application (pour employer les termes géométriques dans un sujet purement géométrique); les signes + et — n'apporteront au reste aucune dilTicuIté pour la pratique de la méthode.

Comme d'ailleurs les problèmes qui montent à la seconde puissance sont réduits h la première par l'extraction de la racine carrée, cette méthode donne leur solution connue au moyen de lignes du premier degré ou de droites; on voit donc s'évanouir la vaine objection dont nous avons parlé dans la première Partie de cette Dissertation, si l'on suppose l'extraction delà racine carrée immédiatement connue pour toute espèce de problèmes.

On a ainsi la résolution et construction exacte et la plus sim])Ie possible des problèmes de Géométrie par des lieux naissant suivant les cas de courbes d'espèces différentes et convenant à ces problèmes. Au reste, l'analyste sera libre de faire varier ces courbes, sauf à rester toujours dans le genre naturel aux problèmes, en résolvant ceux du 8* et 7* degré par des courbes du 4''; ceux du lo^ et du 9^, par des courbes du 5^; ceux du 12*^ et ir'^ par des courbes du 6* et ainsi de suite indéfiniment par une méthode uniforme. Au contraire, d'après Descartes, les problèmes des 8" et 7* degré ont besoin de courbes des 5" et 6''; les problèmes du 10* ou du cf, de courbes du 7* ou du S'; les problèmes du 12^ ou du 11^, de courbes du 9^ ou du lo*^, et ainsi de suite indéfiniment; les Cartésiens peuvent voir combien cela est loin de la simplicité et de la vérité géométrique, ou bien, si cela leur plaît, ils essayeront de nous contredire.

Car nous cherchons seulement la vérité, et si elle est cachée quelque part dans les écrits du grand homme, nous aurons la plus grande joie à la reconnaître et à l'embrasser; car, pour employer une formule qui n'est point de moi, j'ai une si grande admiration pour ce génie extraordinaire, que j'estime plus Descartes lorsqu'il se trompe que beaucoup d'autres quand ils ont raison.

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[157, 128] DISSERTATION EN TlîOIS PARTIES. 117

TROISIEME l'ARTIE D!i LA DISSERTATION.

Cela peut suffire pour la théorie générale; car les problèmes que Descartes donne comme résolubles au moyen de courbes d'un degré trop élevé, nous les avons heureusement abaissés par une méthode générale à des courbes d'un degré moitié moindre. Mais on doit comprendre ceci en ce sens qu'il faut au moins ce degré pour toutes les questions absolument, car une infinité de cas spéciaux se prêtent à un abaissement encore plus grand. Je veux donc aller plus loin et ramener l'analyse cartésienne, non seulement à des termes de degré moitié moindre, mais à des degrés 4 fois, 6 fois, loo fois, et indéfiniment moins élevés pour certains cas. On reconnaîtra mieux ainsi l'erreur de Descartes, et elle trouvera sa correction immédiate par l'analyse; au reste, je désignerai, ce qui est plus commode, dans les degrés élevés, les puissances par les nombres que comportent leurs exposants.

Soit proposé de trouver six moyennes proportionnelles entre deux données. Soient^ et d les deux données, a la première moyenne si trouver, on a l'équation a' = b"d. D'après Descartes, cette équation ne peut être résolue que par des courbes du S'' ou du & degré. Dans la seconde Partie de cette Dissertation, elle est, avec toutes les autres de même nature, résolue généralement par des courbes du 4^ degré. Mais rien ne nous empêche de la résoudre par des courbes du 3" degré. Egalons en effet chacun des membres de l'équation au terme a'e^t/. Si, dans l'équation avec a', on divise de part et d'autre part par a\ il vient e''d=:a', ce qui donne, comme on voit, une courbe du S'' degré. Ue l'autre côté, a''erd = b^d; divisant par c/ et extrayant la racine carrée. d-e=.h^, ce qui donne également une courbe du 3" degré. L'intersection de ces deux courbes donnera la valeur de a. c'est-k-dire la solution dn problème proposé au moyen de courbes du 3" degré.

Soit proposé maintenant de trouver douse moyennes proportionnelles entre deux données; l'équation sera a'-'= b'-d. Descartes a pensé qu'elle ne peut se résoudre que par des courbes du 1 1"^^ ou iri'' degré.

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118 ŒUVRES DE FERMAT. [l'JS, iuri]

J'ai enseigné, en général, dans la seconde Partie de cette Dissertation, que toutes les équations de ce degré peuvent être résolues par des courbes du 7° degré. Mais une reclierche plus attentive donne immédiatement une solution élégante par des courbes du 5"^; on peut même l'obtenir par des courbes du 4*' comme on le verra ensuite.

Egalons d'abord chacun des deux membres au terme a^e^d. Dans la première équation, avec a'^, divisant de part et d'autre para", il vient a^ = e''d, courbe du 5^ degré. Dans la seconde équation, avec b'-^d, divisant par <i et extrayant la racine quatrième ou biquadratique, on a a-e ---/}■', courbe du 3^ degré. Le problème proposé est ainsi résolu par deux courbes, l'une du .^^, l'autre du 3* degré.

Mais on peut résoudre ce problème encore plus facilement, c'està-dire par des courbes du ^^ degré. Si, en effet, on égale les deux membres à a'e^d, on aura d'un côté, en divisant par «■', a' = (?V, équation d'une courbe du ff degré; d'autre part, en divisant par d et extrayant la racine troisième ou cubique : a'e =--/>% ce qui donne aussi une courbe du /("degré. Ainsi nous avons une construction facile par deux courbes du 4^ degré.

Après ces exemples, on ne peut douter que V invention de 3o inoyennes proportionnelles ne puisse s'obtenir par des courbes du 7'' ou même du 6* degré. Egalons, en effet, les deux membres de l'équation a'" = b"'d au terme commun a^''e^d; le problème sera ramené à des courbes du 7* degré. Par le terme commun a^^e'^d, il le sera à des courbes du 0^.

De même. Vinvenlion de 72 moyennes proportionnelles se fera par des courbes du (f degré, et il est clair, d'après ce qui précède, que l'on peut assigner un rapport plus grand que tout rapport donné entre le degré du problème et celui des courbes qui le résolvent. Quand les Cartésiens auront vu ceJa, je ne doute pas qu'ils ne reconnaissent la nécessité de notre remarque et de notre correction.

Il faut observer qu'il convient souvent de changer la forme de l'équation pour que le degré soit susceptible d'une division commode en parties aliquotes. Il sera inutile de répéter cette remarque.

Qu'on propose, par exemple, Vinvenlion de 10 inoyennes, c'est-à-dire

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