IM] DISSERTATION EN TROIS PARTIES

l'équation a" — b"'J, on multipliera les deux termes par une droite donnée, s par exemple; réqualion deviendra a" s = />"'(-^z, et l'on arrive ainsi au nombre 12, qui permet facilement une réduction ou abaissement par ses parties aliquotes. En égalant chacun des deux membres à a'e', on aura d'un côté l'équation a^z = e\ courbe du quatriiîme degré. De l'autre côté, en extrayant la racine bicarrée, soit celle-ci n'" par le terme donné b"'dz, on a a-e = n'~, courbe du troisième degré. Ainsi on trouvera dix moyennes par deux courbes, l'une du 4*. l'autre du 3' degré, ce à quoi on est arrivé facilement par un petit cbangement de l'équation primitive.

Je ne m'arrête pas aux autres abréviations que l'art fournira de luimême aux analystes et qui sont en nombre infini. J'ajoute toutefois que ce que je viens de dire s'applique non seulement quand la puissance inconnue se trouve sans aucun autre terme affecté d'un degré moins élevé, mais encore s'il y a des termes de degrés voisins du plus élevé, comme dans l'équation «'^ + na'* + ma^' -+- ra^" ■=■ h'-d.

La solution de cette question, en prenant le même terme commun que ci-dessus, à^e^a, sera aussi facile que celle de l'invention de 12 moyennes entre deux données. Le même artifice s'emploierait de même pour les équations d'autres degrés plus élevés.

Cependant il faut remarquer que, dans les équations où se trouve seulement un terme inconnu dans un des membres, il faut que l'exposant de la puissance unique de l'inconnue soit un nombre premier, pour que l'on désigne par cet exposant le degré du problème. Si, en effet, l'exposant est composé, le problème se ramène immédiatement au degré des diviseurs.

Si l'on demande, par exemple, H moyennes proportionnelles entre deux données, on aura t'équalion «" — h'^d. Dans ce cas, le nombre <) étant composé et ayant deux fois 3 comme facteur, le problème doit être regardé comme du troisième degré, et il l'est de fait. Si, en effet, on trouve deux moyennes proportionnelles entre les deux données, si ensuite on intercale de nouveau deux moyennes proportionnelles entre le premier et le second terme de la progression ainsi formée.

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120 ŒUVRES DE FERMAT. fiM, l:ii)

l"iuis ftiitre le second et le troisième, puis cnlro le troisii'iiie ci In (luatrièmc, on aura 8 moyennes entre les deux lignes proposées en premier lieu.

Si l'on demande maintenant i4 moyennes entre deux données, l'équation a'^= i'V montre que le problème se ramène à deux autres, l'un du 3*^, l'autre du 5^ degré.

On voit ainsi que l'exposant de la puissanee unique doit être un nombre premier pour exprimer et représenter véritablement le degré du problème.

Comme d'ailleursje considère comme certain que /es nombres obtenus en ajoutant l'unité auoa carrés successifs que. l'on forme en partant de 2 sont toujours premiers, théorème dont j'ai depuis longtemps annoncé la vérité aux analystes, je veux dire que les nombres

3, 5, 17, 237, ôS'jS^, .,., à l'infini

sont premiers; il n'y a aucune difficulté pour trouver «n procédé permettant de construire un problème dont le degré soit dans un rapport plus grand que tout rapport donné avec le degré des courbes qui servent à le résoudre.

Par exemple, soit proposé de trouver entre deux données 206 moyennes proportionnelles, on aura l'équation n*^' = b'^'''-d; on égalera les deux termes à «-' V V/, et la question sera résoluiî par des courbes du 17^ degré.

Si l'on cherchait 6553G moyennes proportionnelles, le problème sei'ait résolu par des courbes du 257" degré, et ainsi de suite indéfiniment, en abaissant le degré du plus grand nombre à celui du nombre immédiatement inférieur. Et qui ne voit qu'en deux nombres consécutifs, le rapport augmente indéfiniment?

Les Cartésiens essayeront-ils encore de dissimuler l'erreur de Descartcsî Quant à moi, je m'abstiens de rien prévoir : j'attends avec intérêt, mais sans rien ajouter de plus, ce qu'il adviendra à ce sujet.

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