METHODE

RECIIEUCIIE DU MAXIMUM El DU MINIMUM.

Toulc. la tliéorie de la t'ci;honjhe du maximum ol. du minimum siijipose la position de deux inconnues et la seule règle que voici :

Soit « une inconnue quelconque de la question (qu'elle ait une, deux ou trois dimensions, suivant qu'il convient d'après l'énoncé). On exprimera la quantité masîma ou minima en a, au moyen de termes qui pourront être de degrés quelconques. On substituera ensuite « -f- e à l'inconnue primitive a, et on exprimera ainsi la quantité maxima ou minima en termes oii entreront a et e à des degrés quelconques. On adégatera, pour parler comme Dtophante, les deux expressions de la quantité maxima ou minima, et on retranchera les termes communs de part et d'autre. Cela fait, il se trouvera que de part et d'autre tous les termes seront affectés deeou d'une de ses puissances. On divisera tous les termes par e, ou par une puissance de e d'un degré plus élevé, de façon que dans l'un au moins des termes de l'un quelconque des membres e disparaisse entièrement. On supprimera ensuite tous les termes où entrera encore e ou l'une de ses puissances et l'on égalera les autres, ou bien, si dans l'un des membres il ne reste rien, on égalera, ce qui revient au même, les termes en plus aux termes en moins. La résolution de cette dernière équation donnera la valeur de«, qui conduira au maximum ou au minimum, ou reprenant sa première expression.

KLItMAT.— ill. l6

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Voici un (^x«mpic :

Soit à partager la droite AC (Jig- 91) <'n. E, en sorte que AE X KC soil

Posons AC = /'; soit a un dus segments, l'autru woi'a b — a, et. k' produit dont on doit trouver le maximum : ha — a'^. Soit maintenant « + e le premier segment de h, le second sera b — a — e, et le produit des segments : ba — a^ ■+- be — zae — e- ;

Il doit être adégalé au précèdent : ba — a- ;

Supprimant les termes communs : be^^niae -{- e- \

Divisant tous les termes : Alo2« -h e;

Supprimez e : b =■ '2,a.

Pour résoudre le problème il faut donc prendre la moitié de b.

Il est impossible de donner une méthode plus générale.

Nous ramenons à la méthode précédente l'invention des lang(;nte:^ en des pointa donnés à des courbes quelconques.

Soit donnée, par exemple, la parabole BDN {fig, 92), de sommet D.

de diamètre DC; soit donné sur elle le point B, par lequel il faut mener la droite BE tangente à la parabole et rencontrant le diamètre en E. Si l'on prend sur la di'oile lîE un point quelconque 0, dont on [nènr

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[13^,13(1] MAXIMA ET MINIMA. 12;i

l'ordonncc 01, en même temps qui! l'ordonnée liC du poinL B, on aura :

Vît ^ <W P^i^l""^ '** point 0 est extérieur à la pai'abole. Mais

BC* CE= , j I ■ -i-. j 1 . ■ I r, CD ^ GE^

■jyn = rjjj ' a cause de la similitude des triangles. Donc ^ j> t^-

Or le point B est donné, donc l'ordonnée BC, donc le point C, don('

CD. Soit donc CD = rf, donnée. Posons CE :-= a et Cl = (?; on aura

Faisons le produit des moyens et des extrêmes :

da--^ de"^— "idae > da}— a-c.

Adégalons donc, d'après la méthode précédente; on aura, en relranchanl les termes communs :

ou, cp qui l'cvient au mèn

Divisez tous les termes par e

Supprimez de : il reste «-= ida, donc : a — 'zd.

Nous prouvons ainsi que Clî est double de CD, ce (jui est conforme à la vérité.

Celte méthode ne trompe jamais, et peut s'étendre à nombre de questions très belles; grâce a elle, nous avons trouvé les centres de gravité de figures terminées par des lignes droites et courbes, aussi bien que ceux de solides et nombre d'autres choses dont nous pourrons traiter ailleurs, si nous en avons le loisir.

Quant à la quadrature des aires limitées par des lignes courbes et droites, ainsi qu'au rapport que les solides qu'elles engendrent onl aux cônes de même base et même hauteur, nous en avons déjà longuement traité avec M. de Boberval.

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CENTRE DE GRAVITÉ DU COXOIDE PARADOLIQUIi,

D-.VPKÈS LA yiPAlE MÈTIIODli.

Soit CIÎAV (/îg. Cf'5) un conoïilo iiarahnlicjifc, ayant pour axo JA, ot pour base un cercle de diamètre CIV. Cherchons son centre de gravité par cette méthode taujours et toujours la mémo, qui nous a servi pour

h's riiaxima, I('s niininia et les langeoles des lignes courbes, et prouvons ainsi, par de nouveaux exemples et par un nouvel et brillant emploi de cette méthode, l'erreur de ceux qui croient qu'elle peut être en défaut.

Pour pouvoir arriver à l'analyse, posons lA — h. Soit 0 le centre de gravité; appelons a la longueur AO inconnue; coupons l'axe lA par un plan quiconque BN, et posons IN = e, d'où NA — b — e.

Il est clair que, dans cette figure et les semblables (paraboles im paraboliques), les centres de gravité, dans les segments retranchés par les parallèles à la base, divisent les axes dans un rapport constant (il est évident, en effet, que la démonstration d'Archimède pour la parabole peut s'étendre, par un raisonnement identique, h toutes les paraboles et aux conoïdes paraboliques). Donc le centre de gravité du segment, dont NA est l'axe et BN le rayon de base, divisera AN en

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[137, i;{9] ^fAKIMS. in' MINHIA. (2"i

J^a portion de l'axe sera donc AE = — - — '-■> ul. l'iiitorvallc des doux

centres de gravité, OE = ■

Soit ;M lo centre de gravité do la partie restante CBRV; il doit néees-

sairemeiit tomber eotre les points N, 1, ii rintérieiir do la figunt.

d'après le postulatum 9 d'Archiiiiède /)e (Bcfuiponderanlihus, puisque.

CBRV est une iignre entièrement concave par rapport à son intérieur.

,, . Partie GlîRV EO . r» * i . i ■.- t i

3Iais ^p ..- ii>i| = ou' P"^^1'^'-^ ^ ^'^^ ^^ centre de gravite de la

(igure totale CAV et que E et ÎI sont ceux des parties.

■ -Yi—r. — ,i-r„- = TT-—, :-■ "ais nous avons prouve