SUR LA MÊME MÉTHODE

Je veux, au moyen de ma méthode, partager la ligne donnée AC {Jig. 94) au point B, en sorte que AB* X BC soit le maximum de tous les solides que l'on peut former de la même façon en partageant la lieneAC.

l'usons, en notations algébriques, AC = /», l'inconnue Alî = a; on aura BG = 6 ~ « cl. le solide d'-b^a^ doit satisfaire à la condition proposée.

Prenons maintenant a h- e au lieu de a, on aura pour le solide («-4-e)'(i— e — «) — èn^-H fte^+ ■ibae — d'~ iae^~ 3«-e — e^

Je le compare au premier solide; a'^b — a', comme s'ils étaient égaux, quoiqu'en fait ils ne le soient point. C'est cette comparaison que j'appelle adégalité, pour parler comme Diophante, car on peu! ainsi traduire le mot grec -RaptuéTï]; dont il se sert.

Je retranche ensuite de part et d'autre les termes communs, c'està-dire ôa°— a\ Cela fait, dans un membre il ne reste rien, dans l'autre on a bé^ -^ ^.bae — Zae^ — ^a-e — e^. Il faut donc comparer les termes en plus et ceux en moins; on a ainsi une seconde adégalité aviix^ be^ ■+- 2èae d'une part, 3flp^ 4- Zà-e + e" de l'autre. Divisons tous les termes par e, Vadégalité aura lieu entre be + ^ba et 3«e + 3a'^-4-e*. Après cette division, si tous les termes peuvent encore cire divises par e, il faut'rcitérer la division. Jusqu'à ce qu'on

Hosted by

[iii. 1«] MAXIMA ET MINIMA. 127

ait un turmc qui ne se prête plus à Cfittc division par e, ou, pour employer le langage de Viète, qui ne soit plus affecté de e. Mais, dans l'exemple proposé, nous trouvons que la division ne peut être réitérée. Il faut donc s'arrêter là.

Maintenant je supprime tous les termes affectés de e; il me reste d'une part 2,ha, de l'autre 3a^, membres entre lesquels il faut établir, non plus comme auparavant, une comparaison feinte ou une adégalitè, mais bien une véritable équation. Je divise de part et d'autre par a; j'ai donc aô — 3a ou - = -•

Revenons à notre question, etdîvisons ACen Ben sorte que 177=-' je dis que le solide AB' x BC est le maximum de tous ceux qui peuvent être formés sur la ligne AC, par une autre division quelconque.

Pour établir la certitude de cette méthode, je prendrai un exemple du Livre d'Apollonius, De la section déterminée, lequel au rapport de Pappus (Livre VI!, commencement) renfermait des limitations difficiles et notamment celle qui suit et que je considère comme la plus difficile. Pappus (Livre VII) la suppose trouvée et, sans la démontrer vraie, la regarde comme telle et en tire d'autres conséquences. En cet endroit, Pappus appelle un rapport minimum [Aovayèv xai i'ky.yj.fj-.ov (singulier et minimum), parce que, si l'on propose une question sur des grandeurs données, et qu'elle soit en général satisfaite par deux points, pour les valeurs maxima ou minima, il n'y aura qu'un point qui satisfasse. C'est pour cela que Pappus appelle minimum et ji'n^M- /ier(e'est-à-dire unique) le plus petit rapport de tous ceux qui peuvent être proposés dans la question. Commandin doute en cet endroit de la signification du terme [Aova/^ô; qu'emploie Pappus, parce qu'il ignore la vérité que je viens d'expliquer.

Voici la proposition. — Soil une droite donnée OMID (fig. qS) et sur celte droite quatre points donnés 0, M, I, D. Il faut diviser le segment MI

en an point N, en sorte que ^^ — ^ soit un rapport plus petit que celui

de deux autres rectangles semblables quelconques rr^ ^r ■

Hosted by

t2H ŒUVlïES 1)E FiiliMAT. [U'>, 141]

Posons bs dontiéos 0M = />, DM = ^, MI =^ ^■. et soil maiiUenan) rinconnue MN = a. On aura donc en notations

0XxNI):=6=-;-«

— soil, lo plus (jctit de

tous ceux qui peuvent être obtenus par une division quelconque de la droite ML

Substituons maintenant a-\- eka, nous aurons le rapport

qu'il i'aul comparer par adégalàé au premier, c'est-à-dire qu'oii multipliera d'un côté le premier terme par le quatrième, de l'autre, le second par le troisième, et que l'on comparera les deux produits :

= b z ga ^ gba'^ -\- g sa^ — gà' + bzge — hage