zage ~ a^ge— hza^-\- ba^ — sa^+a

-^■2ba^e — iza'(,^ia'e.

D'autre part,

{ga~ar-)(b:: - ba-bc+za -i- ze - a'-- c'- - 2a<:)

— ga? — gae'— igà'e— isrt^-H ba^

Je romparo ces deux produits par adégalàé; rolrancliant les termes coiMiiMius et divisant par e,

bzg — a'-g — b:e-\ bac-zae— ibza - '>.za'- -'r- •iba-

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[144, l«] MAXIMA ET MINIMA,

Supprimant tous les termes où se trouve encore e, il reste

et, en transposant,

- ha'' M- s «* — ga^ -i

En résolvant cette équation, nous trouverons la valeur de a ou de MN, par suite le point N, et nous vérifierons la proposition de Pappus, qui enseigne que, pour trouver le point N, n taut taire „. ..r = ^^v^; car la résolution de l'équation nous conduira h la même construction.

Pour appliquer aussi cette même méthode aux tangentes, je puis procéder comme suit. Soit, par exemple, l'ellipse ZDN (Jig. 96),

d'axe ZN et de centre R. Prenons sur sa circonférence un pttiiU comme D, menons par ce point la tangente DM ji l'ellipse et l'ordonnée DO. Posons, en notations algébriques, la donnée OZ = b et la donnée ON = g; soit l'inconnue OM = a, en comprenant par CM la portion de l'axe comprise entre le point 0 et le point de rencontre avec la tangente.

Puisque DM est tangente à l'ellipse, si, par un point V pris ad libitum entre 0 et N, je mène lEV parallèle à DO, il est évident que la ligne lEV coupe la tangente DM et l'ellipse, soit aux points E et 1. Mais, puisque DM est tangente à l'ellipse, tous ses points, sauf D, sont

propriété de l'ellipse, py^ = ' ,^, et d'autre part tvt~vw'

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Soit l'arbitraire 0V = c, noua aurons

ZO .ON = bg, ZV. VN = bg — be-^- OW — «^ VM^ = fl' + e^ — 2 ,

1-foiic .^ ,^ ^ ?^ „ a > ^ | i ^i donc on multiplie le prc-

mifti' terme par le dernier et le second par le troisième, on aura

bffa^-i- bge^— ibgae > bga^— bea^- -^ gea'- — o^-k''-.

il faut donc, suivant ma méthode, comparer par adégalité ces deux produits, retrancher ce qui leur est commun et diviser co qui reste par e; on aura donc

Supjirimant les termes où reste c.

membres qu'il faut égaler, d'après la méthode. Transposant comme il convient, on aura ba — ga^^ "^^g-

On voit que cette solution est la même que celle d'Apollonius, car, d'après ma construction, pour trouver la tangente, il faut faire aZO