PROBLÈME D'ADRIEN ROMAIN

Aîj TRÈS 1LI.USTHE CiiniSTiAN IIUYGENS.

lîi) examinant plus attentivement, l'année dernière, la eélèhro réponse de François Viète au problème d'Adrien Romain, et en tombant sur ce passage du Chapitre VI où ce subtil mathématicien avance ne pas savoir si Adrien lui-même a bien connu la formation et les propriétés de l'équation qu'il a proposée, j'ai commencé à douter que Viète de son côté eût bien donné et découvert une solution snlFisamment générale de cette fameuse équation,

Adrien Romain proposait en effet, suivant l'énoncé corrigé par Viète, de trouver la valeur de la racine de l'équation algébrique :

4.5 j; — 3795a:' -h 95 634'2'' — 1 <3 8000 o^' -+- 781 1375^' — 3451 3075^" -h r 05306075.-C"— - 3 3267 6280 «'^+ 3 8494 2375.^:'" — 48849 4i25a'" 4-48384 iSoo^'" — 3 7865 88ooa:"+2 36o3o652«"-- i i767 9iooa>" -H 4695 5700 .ï^'' — i4945o4oii;"-H 376 4565ic'^— 740359X'' -H 1 1 T iSo^"'' — I 33ooa;5' + 945^" — 4^*" + a-"^- un nombre donné.

Il est certain que Viète a fait une très élégante et très savante réduction de ce problème, suivant son habitude, en employant les sections angulaires et qu'il a construit, page 3i8 de l'édition eizévirienne, une

Table importante qu'il est aisé d'étendre indéfiniment à un nombre

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(190,191] PIÎORLEMK IfAOHIKN nO\f\IN. IO.t

quelconque de termes en continuant à appliquer la méthode dont il s'est servi; cette Table permet de reconnaître quelle équation correspond à une division spéciale des angles.

Ainsi, si l'on prend d'abord, dans les rangs impairs, x^ — 'ix i-\ qu'on égale cette expression à un nombre donné qui soit au plus égal à 2, la question se ramène à la trisection de l'angle. Si ensuite on égale x^ — Sx" 4- 5a; à un nombre donné qui soit au plus égal à a, la question se ramène ii diviser un angle en cinq parties égales. Si c'est x^ ~ 7;r°-f- i[\x^ — -jx que l'on égale encore à un nombre donné au plus égal à 2, il s'agira de prendre la septième partie d'un angle ; si l'on continue indéfiniment la Table de Viète selon la méthode qu'il a donnée, le premier membre de l'équation proposée par Adrien sera le 45* terme de la Table, et la question sera ramenée à prendre Ia45* partie d'un angle donné.

Mais il faut observer que, dans toutes ces équations, la méthode de Viète et l'emploi des sections angulaires ne sont applicables qu'aux cas où, comme nous l'avons dit, le nombre donné, auquel on égale une quelconque des expressions algébriques de la Table, ne dépasse pas 2; si au contraire ce nombre donné est supérieur à 2, aussitôt toul ce mystère des sections angulaires devient inutile et ne rend plus aucun service pour la solution de la question proposée.

Cependant Adrien avait proposé en général de résoudre l'cquation en s'en donnant le second membre; il faut donc recourir à un autre moyen qu'aux sections angulaires de Viète.

Si l'on propose tout d'abord, comme premier cas, d'égaler x'^ — 3.r h un nombre donné qui soit au plus égal à 2, la question, comme nous l'avons déjà indiqué, se ramène à la trisection de l'angle; si, au contraire, on égale a;" — 3a; à 4 ou à tout autre nombre supérieur à 2, l'équation proposée est résolue par les analystes au moyen de la méthode de Cardan. Mais, dans les autres cas suivants, la solution peut-elle être obtenue indéfiniment par des extractions de racines, voilà ce que les analystes n'ont pas encore essayé ; mais pourquoi ne pas faire progresser l'Algèbre de ce côté, surtout sous vos auspices.

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IfiG ŒUVRES DE FERMAT. [liii, Wî]

illustre Tluygens, vous dont tous les savants honorent à juslc i\lvo, lo brillant mérite?

Soit donc proposé d'égaler x'^ — 5x'' -h 5x à 4 ou à tout autre nombre supérieur à 2. Dans ce cas, la métbode de Vièle est inapplicable ; mais nous pouvons affirmer hardiment, pour résoudre généralement le problème d'Adrien, que pour toutes les expressions de la Table précitée, toutes les fois que le nombre donné est supérieur à 2, la question proposée peut être facilement résolue par des extractions de racines.

Nous avons en effet remarqué, bien plus nous avons démontré que. dans tous ces cas, la question peut être ramenée, de même que dans l'équation cubique, à une quadratique par une racine cubique, selon la méthode de Cardan et de Viètc; si l'équation est du cinquième degré, à une quadratique par une racine du cinquième degré; si l'équation est du septième degré, à une quadratique par une racine du septième degré, et ainsi de suite indéfiniment.

Soit, par exemple, x^ — 3a; = 4. Tous savent que la méthode précitée donne la racine : a; = y 2 +V5 + y ^ ^ \^^-

Mais proposons, dans l'exemple d'Adrien ou de Viètc. d'égaler x^ — Sx" — 5ic à 4 ou à tout autre nombre plus grand que 2.

Par une méthode qui est générale et qui s'appliquera indéfiniment il tous les cas de la Table, nous supposerons que la racine cherchée est de la forme -^^^ — -'■; en opérant la substitution, nous verrons toujours se détruire réciproquement les termes qui s'opposent à la simple résolution de la question par une extraction de racine; par exemple, dans le cas proposé, la racine sera y 2 + \/5 + V ^ ~ ^^■

Si l'on prend la septième expression dans la Table de Viète (je veux dire celle dont l'exposant de la plus haute puissance est 7), soit

ef (uie Fou iniaifiiio, cornuie ci-dessus, x = ■^ , Ions les termes

s'opposanl à la solution (lar extraction de racine se détruiront de

[ni-î, lyS] PROlîLBMl-: il'A !)RlENMU)MAiN. I(i7

même, etToii tronvcrapodrhi racine cherchée : \ -2 -+- \/3 -i- y 2 — y'^, et ainsi de suilc ii l'iniini.

C'est ce que vous pourrez non seulement reconnaître par l'expérience, mais aussi démontrer, aussitôt que vous le désirerez; car c'esl une propriété spécifique de toutes les équations que l'on peut former avec la Table dcYiète, que leurs solutions s'obtiennent toujours par de simples extractions de racines, lorsque !e terme C(irinu est supérieur

Or le nomhrc donné, auquel peut être égalée une expression analytique de la Table, peut être soit 2, soit plus petit que 2, soit plus grand que 'j..

Dans le premier cas, la racine cherchée est toujours 2.

Dans le second, la question se ramène, d'après VÎL'te, aux sections angulaires.

Dans le troisième, elle se résout facilement au moyen de notre méthode, c'est-à-dire par dos extractions de racines.

Ainsi, si l'on prend l'expression analytique proposée par Adrien :

la racine cherchée sera a: = y - + v'^ + \i — \j^.

Nous n'avons pas à nous arrêter plus longtemps sur un sujet déstn*mais éclaire! par des exemples suffisants ; on peut toutefois remarquer que l'extraction de la racine du '4^^ degré, ou l'invention de quarantequatre moyennes proportionnelles entre deux quantités données, peut se ramener trfes facilement à l'extraction successive de deux racines cubiques et d'une racine du ^^ degré, ce que montrent suffisamment les diviseurs 5 et 9 du nombre 45 ; 5 en effet correspond à une racine du 5^ degré, et 9 à l'extraction de deux racines cubiques, puisque 9 est le carré de 3, exposant du cube.

Ainsi, l'invention de deux moyennes propoi'tionnelles réitérée deux fois et celle de quatre moyennes, opérée une seule fois, fournisseni quarante-quatre moyennes et résolvent notre question, de mémo que

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I(i8 ŒUVRES DE FERMAT. [IS)41

Vit'te a ramené la division de l'ungle en 45 parties égales, ce qui esl le problème d'Adrien, à une équation cubique réitérée deux fois et à une équation du 5* degré, c'est-à-dire à une double trisection et à une seule division en 5.

Je n'ajoute rien snr les solutions uuilLifiies de l'équation ou question proposée; j'ai seulement donné celle qui se présente en premier lieu, me réservant à traiter à loisir des autres dont la discussion demande plus de travail.

Adieu, homme illustre, aii»e/-moi.

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QUESTIONS DE CAVALlEIÎi.