RÉPONSE AUX QUESTIONS DE CAVALIERI

H y a longtemps qu'à l'exemple d'Archlmède pour sa parabole, j'ai carré toutes celles en nombre indéfini dans lesquelles les abscisses sont proportionnelles aux ordonnées élevées à une puissance quelconque. Cette découverte, que j'ai été le premier à faire, a été communiquée à M, de Beaugrand et à d'autres; cependant je dois dire que M. de Roberval, qui, sur mes indications, s'était attaqué à ces questions, en a trouvé de lui-même la solution, et a ainsi donné une preuve de l'heureuse perspicacité de son génie en Mathématique.

J'ai également trouvé les centres de gravité de ces figures et de celles qui en dérivent; j'ai employé à cet effet cette méthode qui m'appartient et grâce à laquelle j'ai aussi hien construit les tangentes des courbes quelconques, ainsi que leurs asymptotes, enfin tous les problèmes qui se rapportent ii la riichcrche du maximum et du minimum.

Mais arrivons à la question : le savant Bonaventure Cavalieri demande ce que l'on peut dire des quadratures précitées. J'ai établi une règle générale qui donne la solution, non seulement quand il y a i'a[>port constant entre l'abscisse et une puissance de l'ordonnée, mais aussi quand le rapport est donné entre une puissance quelconque dt; l'abscisse et une puissance quelconque de l'ordonnée; voici l'énoncé général.

Soit une tigure parabolique quelcouquc MKV {fig. m), et supposons, par exemple, .-rr; = TTgî- Je prends les exposants des puissances, tant des ordonnées que des abscisses : l'exposant est 4 pour le bicarré

t'ERM*!. — lil. 22

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de l'ordonnée; 3 pour le cube de l'abscisse. Je dis donc qne le rapport du parallélogramme EH à l'aire de la figure EAF est le même que celui de la somme des exposants des deux puissances à l'exposant de la

puissance des ordonnées. Ainsi, dans l'exemple proposé, le rapport du parallélogramme à la figure inscrite sera de 7 à 4.

Dès lors, si, par exemple, yr^ = j^^ l'exposant de l'abscisse étant simplement l'unité, le rapport du parallélogramme h la figure sera de 5ii4-

Il en sera de même indéfiniment pour toutes les figures de ce genre.

Donc oii peut affirmer ce que le savant Cavalieri ne proposait qu'avec doute, à savoir que s'il y a rapport constant entre les puissances des ordonnées et la simple longueur de l'abscisse (ou avec le côté, comme disent les analystes), le rapport du parallélogramme il la figure est de 2 à i pour le triangle, de 3 à 2 pour la parabole simple, de 4 à 3 pour la parabole cubique, de 5 ;i 4 pour la biquadratique, et ainsi de suite indéfiniment.

Si maintenant, en laissant fixe la droite CA, on fait tourner la figure autour d'elle de façon à engendrer an solide, le rapport du cylindre lïH à ce solide se trouvera comme suit :

Le cylindre est au solide dans le rapport de la somme du double de l'exposant de la puissance de l'abscisse et de l'exposant de la puissance de l'ordonnée à ce dernier exposant.

Soit, par exemple, j^ïp — tt^- L'exposant du carré de l'abscisse est 2, dont le double est 4; ajoutant 3, exposant de la puissance de

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[197,198] QUESTIONS DK CAVALIERI. 171

l'ordonnée, on a ^ ; le rapport du cylindre ;tu solido est <lonc de 7 à i (exposant de la puissance de l'ordonnée).

Par là, j'ai répondu à la seconde question.

Les centres de gracile de toutes ces figures, tant planes que solides, divisent le diamètre dans le rapport soit du parallélogramme à la figure plane, soit du cylindre au solide.

Si l'on/ait tourner la figure autour de EF, le solide engenLJré n'est plus simple comme précédemment, mais composé. Cependant un habile géomètre peut facilement établir une proposition simple ontrl^ ce solide et le cylindre circonscrit. Je pourrai le montrer plus longui'mont et avec des preuves à M. Cavalieri, s'il le désire.

Mais quand ii demande si des courbes de ce genre, en deliors du triangle et do la parabole, peuvent être des sections coniques, il semble ne pas penser à leurs propriétés spécifiques; il est tout aussi impossible qu'elles soient des sections coniques qu'il est impo^^siblr que la section de la sphère par un plan soit une parabole, une hyperbole, ou une ellipse.

Je lui demanderai en grâce de vouloir bien nous envoyer d'Italie quelques problèmes.

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ŒUVRES DE EERMAT.

PROPOSITIONS A LALOIJVERE.

Soit une parjiboio BAD {fig- i r^) (.IniU AC est l'axe, lîC. une ordonnée, AE le paramètre. On demande le rapport de la courbe Ali à la droite BC.

Soit rhyperboie MLO de centre G, d'axe transverse FL égal au paramètre AE de la parabole. Soît LN l'axe de cette hyperbole, dont nous supposerons le paramètre égal à l'axe transverse, en sorte que pour toute ordonnée on ait MN- = FN.NL. Kn G, élevons la perpendiculaire GH égale à l'ordonnée BC de la parabole; menons HM et IJ, parallèles îi GN et GH et par M, point de rencontre de HM et de l'hyperbole, menons l'ordonnée MN.

Je dis que le rapport de la courbe parabolique AB à la droite BC est le même que celui du quadrilatère MHGL (formé par les droites MG, HG, GL et la courbe ML) au rectangle IG.

Soit donnée (fig. 1 13) la parabole BAD; soient AC son axe, BC une ordonnée, AE îe paramètre; on fait tourner la figure parabolique ItAC

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[200, îOi] PROPOSITIONS \ LALOUVÉRE. 173

autour de l'ordonnée BC; trouver la mesure de la surface eourhe <lii solide engendré.

Je construis l'hyperbole MNH ayant Hl pour axe, en prenant son axe transverse HF égal au quart du paramètre do la parabole, c'està-dire de la droite AE, et en faisant le paramètre de cette hyperbole

égal à son axe transverse, en sorte que, pour une ordonnée quelconque, on ait IM^ = FI . IH. Je prends HI égale à l'axe AC de la parabole et je mène l'ordonnée IM. Du produit de CA par l'arc parabolique BA, je retranche l'aire hyperbolique IMH; je construis le carré égal à la diiférence. La diagonale de ce carré sera le rayon d'un cercle égal à la surface courbe du solide engendré par la rotation de l'aire ABC autour de l'ordonnée BC.

Soit une demi-parabole quelconque AC {Jig- 1 14)» tic sommet A et d'axe AB; de cette courbe j'en déduis d'autres en nombre indélini comme AF, AE, AD, etc.

Voici la loi de leur formation : pour la courbe AF, l'ordonnée BF est

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17i OEUVRES DE FERMAT. [2D1, -3021

égale à l'arc dfs courbe parabolique CA, et si je prends un autre point quelconque, comme N, par lequel je mène l'ordonnée NP, cette ordonnée NP est de même égale à l'arc de parabole AO. Pour la courbe EÂ, l'ordonnée EB est égale à la courbe FA du second degré et toute autre ordonnée QN est de même égale à l'arc PA de la même courbe du second degré. De même, pour la courbe AD, l'ordonnée BD est égale à la courbe EA du troisième degré, et toute autre ordonnée NR à l'arc QA de la même courbe du troisième degré ; et ainsi de suite indéti n i meu t .

Je dis que toutes ces courbes en nombre indéfini se trouvent dans un rapport donné avec la parabole simple primitive; voici cominent on peut énoncer le théorème général :

Qu'on prolonge indéfiniment la parabole primitive AC par les points ÎM, L, K, par exemple, et de même son axe par les points G, H, 1. en nombre aussi grand que l'on voudra, en prenant BG = GH = Hl = AB l'axe, et en menant les ordonnées GM, HL, IK :

Le rapport de la courbe parabolique AM à la courbe AF du second degré est celui de l'ordonnée GM à l'ordonnée BC.

Le rapport de la courbe parabolique AL h la courbe AE du troisième degré est celui de l'ordonnée HL à la droite BC.

Lerapportdelacourbeparabolique AKàlacourbc AD du quatrième degré est celui de l'ordonnée Kl à la droite BC.

Et ainsi de suite indéfiniment.

Si l'on fait tourner les figures AMG, AFB autour des ordonnées (îM, BF, le rapport de la surface courbe engendrée par la figure AMG tournant autour de GM à la surface courbe engendrée par la figure AFB tournant autour de BF est égal au rapport de GM* à BC^

De même le rapport de la surface courbe engendrée par la figure ALH tournant autour do HL à la surface courbe engendrée par la figure AEB tournant autour de BE sera égal au rapport de HL* à BC*.

Et ainsi de suite indéfiniment.

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PROPOSITIONS A LALOUVÉRE.

Soit BA {fig. ij5) une demi-cycloïde doat on déduit une autre courbe DA par la condition que le rapport des ordonnées ^^ ou ^ soit constamment égal h un rapport donné. Des géomètres ont démontré que la demi-cyclo'ide BA est double de la droite AC, diamètre du cercle générateur de la cycIoïde.On demande la relation des courbes AD à d'autres lignes soit courbes, soit droites.

Voici notre énoncé général ; Si ces nouvelles courbes se trouvent, comme sur la figure ci-dessus, entre la cycloïde et le diamètre du cercle générateur, toutes ces courbes AD et leurs parties seront égales à des arcs de parabole; si ces nouvelles courbes sont au contraire extérieures à la cycloïde, comme dans la figure ci-apres {fig. ii6), toutes ces courbes AD et leurs parties auront un rapport donné à la somme d'une droite et d'un arc de cercle.

Sur la première figure {fig- 1 15), le théorème général peut être Cor-