Diophante, V

j Coiistraira trois triangles reelanglos numériques dont les aires soient égales. »

Mais peut-on trouver quatre ou même un plus grand nombre, allant jusqu'il l'infini, de triangles de même aire? Rien ne parait s'opposer

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[309,311] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 23:i

à ce que celte question soit possible; elle est donc à examiner plus profondément.

J'ai résolu le problème; bien plus, pour un trijiuglo donné qu(dconque, j'en fournis une infinité ayanl la même aire. Suit, par exemple, 6 l'aire du triangle 3.4-5, en voici un autre do même

aire ; — ■ — - ■ --^^— t ou, si l'on veut ie même dénominateur :

Voici le procédé qui peut, sans exceptions, s'appliquer indéfiniment. Soit un triangle quelconque, d'hypoténuse =, de base h, de hauteur (/. On en déduira un autre triangle non semblable, mais de même aire, en formant ce nouveau triangle avec les nombres =^ et ^bd, sauf à diviser par ^sb^— 2zd- les expressions du quatrième degré qui représentent les côtés. Le triangle ainsi obtenu aura toujours une aire égale à celle du triangle dont il dérive.

Du second triangle ainsi déterminé, on en déduira, par la même méthode, un troisième; de ce troisième un quatrième; du quatrième un cinquième, et on aura ainsi une série indéfinie de triangles dissemblables et de même aire.

Pour que l'on ne doute pas qu'il soit possible d'en donner plus

de trois, à ceux de Diophante : 4o. 42-58, 24. 70. 74, i5.ii2.ii3.

j'en ajoute un quatrième dissemblable et de même aire : hypoté-

1412881 . iiS(288o , . 1681 nuse -^î— 5 — ; base -^—5—; hauteur — r,--

J189 1189 ufag

Si l'on réduit tous ces nombres au même dénominateur, on aura, en entiers, les quatre triangles suivants de même aire :

On pourra en trouver une infinité de même aire en poursuivant l'application du procédé, et dès lors étendre le problème suivant de Diophante au delà des bornes où il l'a restreint.

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Voici, obtenu par un autre procédé, un triangle donl l'aire est le sextuple d'un carré, comme celle du triangle 3.4-5 : 2 896 804, 7 216 8o3, 7 776 483.

M. — Diophante, V, 9.

u Trouver trois nombres tels que le carré de chacun d'eus, soit augmenté, soit diminué de la somme des trois nombres, fasse un ciirré. 0

D'aprfes ce que j'ai dit ci-dessus, il est clair que je puis résoudre le problème :

Trouver autant de nombres que l'on voudra, tels que le carré de chacun d'eux, soit augmenté, soit diminué de la somme de tous ces nombres , fasseun carré.

Bachet n'a probablement pas connu la solution de ce problème; sans quoi il aurait généralisé la question de Diophante, comme il l'a l'ait pour IV, 31 et ailleurs.