Diophante, IV

« Ri'SOudfo : .i-i -1- -Ti -+- ,2:3 = 6, .-r, ,r j -h .cj --= D , .i-i .r^. — ^'^i = D . '>

On peut opérer plus facilement comme suit : Partagez arbitrairement en deux nombres le donné G; soient, par exemple, les parties :) et I. Divisez par le nombre donné, 6, le produit de ces parties, diminué de l'unité, c'est-à-dire 4 ; il vient -. Retranchez ce quotient tant de 5 que de i; les deux restes ^ et ^ peuvent être pris pour les deux premières parties du nombre à partager; la troisième sera dès lors ^.

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OBSERVATIONS SUR DTOPITANTE.

- Commentaire de Bachet sur Diophante, IV, Ai.

1 Résoudre : (Xi-hXi+.va).xi— ; (xi-t- ^i-+- .V3) Xi= ^'; (■':i-h x,-^+ x3)-'^3= -(^^

Hvee la condition que a soit entier, x,, .z,, x„ p, ^ pouvant être simplement rationels. Si l'on posex, + j;j+37a= j,'* et p =x^—z^, on arrive i ta condition

On résoudra en égalant cette dernière espressioii à (4=:c — 3)'; mais a no peut guère Ctre obtenu entier qu'en prenant 3 = i. »

Bachet n'a pas fait des essais suffisamment rigoureux. ProïKins ou effet [pour y"J un cube arbitraire dont la racine soit de la l'oruic 3n -h j.

Nous aurons, par exemple, à égaler aa^-— 3l^^ à un triangle — -

et 16a;-— 2701 à un carré [(2a-i-i)^]; or on peut, si l'on veuf, prendre pour racine de ce carré ^x — 3, etc.

Rien n'empêche, en effet, de généraliser la méthode et de prendre au lieu de 3 un autre nombre impair tout à fait quelconque, siinf ii choisir le cube en conséquence.

21, — Commentaire de Bachet sur Diophante, IV, 45.

<( Dioj>lianto enseigne dans ce problème à traiter la double équation

pour le r s ou n et « sont différeats et où d'ailleurs le rapport de a à 0| n'est pas un earre mais eu su[[Obaut que b it i| soient des carrés inégaux; Bachet montre que la sïlulion est Oniîtmput possEble / r t /'i étant quelconques ; i" si, en supposant « > n', . le rappoit de ali,~bi, à 1 — ai est carré; 2" si, avec la même hypothèse «><î|, le rapport de a, ù — b,a a ai e--! carré "

Mais que l'on propose, par exemple, la double équation

on pourra prendre les carrés 16 = sa; + 5, 3G = 6a; -1- 3; et il y en a une infinité qui satisfont de même à la question. Il n'est pas d'ailleurs

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difficile de donner une règle générale pour les problèmes de ce genre, en sorte que les conditions posées par Bachet sont à peine dignes de lui, car on peut aisément étendre à une infinité de cas, bien plus ii tous les cas possibles, ce qu'il n'a trouvé que pour deux cas seuleiiienL.

« Résoudre ^i.i-.-hn -= G , ^s^,^ + " ^ D : ■'".t'^i-H" = □ , .ri+« = n , ■r? + " = □ .

De cette solution, il est facile de déduire celle de la question suivante :

Trouver (juatre nombres tels que le produit de deux quelconques d'entre eux, augmenté d'un nombre donné, fasse un carré.

Soient pris en effet, pour trois de ces nombres, ceux qu'on aura trouvés pour le problème de Diophante et qui satisferont dès lors, en outre, à la condition que chacun d'eux, augmenté d'un nombre donné, lasse un carré. Soit a; -h i le quatrième nombre à chercher; on aura une triple équation facile à résoudre par ma méthode. Voir la Note sur le problème VI, 24.

Nous aurons ainsi une solution de la question proposée par Bacheî sur lil, 12, et outre que le procédé est plus général, il a sur celui de Bachet cette supériorité que les trois premiers nombres, augmentes chacun du nombre donné, donnent des carrés.

Toutefois, je ne sais pas encore si le problème peut être résolu en posant la condition que le quatrième nombre, augmenté du donné, fasse également un carré; c'est une recherche qui reste à faire.