CHAPITRE I. - INTRODUCTION

ligne courbe qui passerait par les extrémités de ces ordonnées représentera l'état permanent des températures, et il est très facile de déterminer par le calcul la nature de cette ligne. Il faut remarquer que l'on suppose à l'anneau une épaisseur assez petite pour que tous les points d'une même section perpendiculaire à la circonférence moyenne aient des températures sensiblement égales. Lorsqu'on aura enlevé le foyer, la ligne qui termine les ordonnées proportionnelles aux températures des différents points changera continuellement de forme. La question consiste à exprimer par une équation la forme variable de cette courbe, et à comprendre ainsi dans une seule formule tous les états successifs du solide.

Soient z la température fixe d'un point m de la circonférence moyenne, X la distance de ce point au foyer, c'est-à-dire la longueur de l'arc de la circonférence moyenne, compris entre le point m et le point o, qui correspond à la position du foyer; :; est la plus haute température que le point m puisse acquérir en vertu de l'action constante du foyer, et cette température permanente :; est une fonction/(a7) de la distance x\ La première partie de la question consiste à déterminer la fonction/(.T) qui représente l'état permanent du solide.

On considérera ensuite l'état variable qui succède au précédent aussitôt que l'on a éloigné le foyer; on désignera par t le temps écoulé depuis cette suppression du foyer et par v la valeur de la température du point m après le temps /. La quantité v sera une certaine fonction ¥{x, t) de la distancer et du temps /; l'objet de la question est de découvrir cette fonction Y{x^t) dont on ne connaît encore que la valeur initiale qui est/(a?), en sorte que l'on doit avoir l'équation de condition

Si l'on place une masse solide homogène, de forme sphérique ou cubique, dans un milieu entretenu a une température constante, et

k THÉORIE DE LA CHALEUR.

qu'elle y demeure très longtemps plongée, elle acquerra dans tous ses points une température très peu différente de celle du fluide. Supposons qu'on l'en retire pour la transporter dans un milieu plus froid» la chaleur commencera à se dissiper par la surface ; les températures des différents points de la masse ne seront plus sensiblement les mêmes, et, si on la suppose divisée en une infinité de couches par des surfaces parallèles à la surface extérieure, chacune de ces couches transmettra, dans un instant, une certaine quantité de chaleur à celle qui l'enveloppe. Si l'on conçoit que chaque molécule porte un thermomètre séparé qui indique à chaque instant sa température, l'état du solide sera continuellement représenté par le système variable de toutes ces hauteurs thermométriques. Il s'agit d'exprimer les états successifs par des formules analytiques, en sorte que l'on puisse connaître, pour un instant donné, la température indiquée par chaque thermomètre et comparer les quantités de chaleur qui s'écoulent, dans le même instant, entre deux couches contiguès ou dans le milieu environnant.

Si la masse est sphérique, et que l'on désigne par x la distance d'un point m de cette masse au centre de la sphère, par t le temps écoulé depuis le commencement du refroidissement et par ^ la température variable du point m, il est facile de voir que tous les points placés à la même distance x du centre ont la même température t^. Cette quantité ^ est une certaine fonction F(jr, /) du rayon x et du temps écoulé /; elle doit être telle qu'elle devienne constante quelle que soit la valeur de X, lorsqu'on suppose celle de t nulle; car, d'après l'hypothèse, la température de tous les points est la même au moment de l'émersion. La question consiste à déterminer la fonction de ^ et de / qui exprime la valeur de ^.

On considérera ensuite que, pendant la durée du refroidissement, il s'écoule k chaque instant, par la surface extérieure, une certaine quan-