CHAPITRE I.- INTRODUCTION

tité de chaleur qui passe dans le milieu. La valeur de cette quantité n'est pas constante; elle est plus grande au commencement du refroidissement. Si Ton se représente aussi l'état variable de la surface sphérique intérieure dont le rayon esta?, on reconnaît facilement qu'il doit y avoir, à chaque instant, une certaine quantité de chaleur qui traverse cette surface et passe dans la partie de la masse qui est plus éloignée du centre. Ce flux continuel de chaleur est variable comme celui de la surface extérieure, et l'un et l'autre sont des quantités comparables entre elles; leurs rapports sont des nombres dont les valeurs variables sont des fonctions de la distance x et du temps écoulé t. 11 s'agit de

déterminer ces fonctions.

Si la masse, échauffée par une longue immersion dans un milieu, et dont on veut calculer le refroidissement, est de forme cubique et si l'on détermine la position de chaque point m par trois coordonnées rectangulaires ai, j, 5, en prenant pour origine le centre du cube et pour axes les lignes perpendiculaires aux faces, on voit que la température V du point /w, après le temps écoulé t, est une fonction des quatre variables x, y, z et t. Les quantités de chaleur qui s'écoulent à chaque instant, par toute la surface extérieure du solide, sont variables et comparables entre elles; leurs rapports sont des fonctions analytiques qui dépendent du temps t et dont il faut assigner l'expression.

Examinons aussi le cas où un prismTg rectangulaire d'une assez grande épaisseur et d'une longueur infinie, étant assujetti par son extrémité a une température constante, pendant que l'air environnant conserve une température moindre, est enfin parvenu à un état fixe qu'il s'agit de connaître. Tous les points de la section extrême qui sert de base au prisme ont, par hypothèse, une température commune et permanente. Il n'en est pas de même d'une section éloignée du foyer; chacun des points de cette surface rectangulaire, parallèle à la base, a acquis une température fixe, mais qui n'est pas la même pour les dif-

férents points d'une même section et qui doit être moindre pour les points les plus voisins de la surface exposée à Pair. On voit aussi qu'il s'écoule à chaque instant, à travers une section donnée, une certaine quantité de chaleur qui demeure toujours la même, puisque l'état du solide est devenu constant. La question consiste à déterminer la température permanente d'un point donné du solide et la quantité totale de chaleur qui, pendant un temps déterminé, s'écoule à travers une section dont la position est donnée.

Prenons pour origine des coordonnées or, y, z le centre de la base du prisme, et pour axes rectangulaires l'axe même du prisme et les deux perpendiculaires sur les faces latérales : la température permanente i^ du point /n dont les coordonnées sont .r, 7, z est une fonction de trois variables F(.x*,j, s); elle reçoit, par hypothèse, une valeur constante lorsque l'on suppose x nul, quelles que soient l^s valeurs de j et de z. Supposons que l'on prenne pour unité la quantité de chaleur qui, pendant l'unité de temps, sortirait d'une superficie égale à l'unité de surface si la masse échauffée que cette superficie termine, et <(ui est formée de la même substance que le prisme, était continuellement entretenue à la température de l'eau bouillante et plongée dans l'air atmosphérique entretenu à la température de la glace fondante. On voit que la quantité de chaleur qui, dans l'état permanent du prisme rectangulaire, s'écoule, pendant l'unité de temps, à travers une certaine section perpendiculaire à l'axe, a un rapport déterminé avec la quantité de chaleur prise pour unité. Ce rapport n'est pas le même pour toutes les sections; il est une fonction ç(x) de la distance x à laquelle une section est placée; il s'agit de trouver l'expression analytique de la fonction o{x).

Les exemples précédents suffisent pour donner une idée exacte des diverses questions que nous avons traitées.