CHAPITRE III. - SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI

demandée, en désignant par h la valeur constante de la fonction,

TT . . , /i — ces a .

-9(^)~/i/- sin

I — cos2a .

vF -h sinajT

I — cos3a . - I — cos4a . , -h ,. sin3.r -h %\ïi(\x -h . .

Si Ton fait A = -> et que l'on représente le sinus verse de Tare x par sinVtT, on aura

(p(j7) = sin Va sin j? h — sin Va a sin 2^ -i- :r sin V3 a sin 3 j: •

H- 7 sin V4 a sin 4 -ï* -H -sin V5 a sin 5 j:- -h

Cette série toujours convergente est telle que, si l'on donne à x une valeur quelconque comprise entre o et a, la somme de ses termes sera

-; mais, si Ton donne à x une valeur quelconque plus grande que a

et moindre que ir, la somme des termes sera nulle.

Dans l'exemple suivant, qui n'est pas moins remarquable, les valeurs

de ç(^) sont égales à sin-^- pour toutes les valeurs de x comprises

entre o et a, et sont nulles pour toutes les valeurs de x comprises entre a et tt. Pour trouver la série qui satisfait à cette condition, on emploiera l'équation (D).

Les intégrales doivent être prises depuis ^ = o jusqu'à o: = ir; mais il suffira, dans le cas dont il s'agit, de prendre ces intégrales depuis 07 = 0 jusqu'à ^ = a, puisque les valeurs de ç(a;) sont supposées nulles dans le reste de l'intervalle. On en conclura

, , /slnasinu:' sin2asin2a? siii3asin3x sin4<x sin4-^' \

'^ ' \ T^ — cf} TT^ — 2-a* tt' — o*a- 71* — 4 a /

Si l'on supposait a = ii, tous les termes de la série s'évanouiraient

excepté le premier, qui deviendrait - et qui a pour valeur sin^; on aurait donc

(p(j:) = sin.r.

On peut étendre la même analyse au cas où l'ordonnée représentée par 9(07) serait celle d'une ligne composée de différentes parties, dont les unes seraient des arcs de courbes et les autres des lignes droites. Par exemple, si la fonction dont on demande le développement en

séries de cosinus d'arcs multiples a pour valeur (- ] — x^ depuis j:' = o

jusqu'à ^ = -j et est nulle depuis x= - jusqu'à a: = 7:, on emploiera

l'équation générale [n] et, en effectuant les intégrations dans les limites données, on trouvera que le terme général

1 I ( - ) — J"* cos/a* dx

est égal à "4 sin — lorsque «est impair, à ^ lorsque i est double d'un nombre impair, et à — ^ lorsque i est quadruple d'un nombre impair. D'un autre coté, on trouvera r — pour la valeur du premier terme ]■ I (f[x)dx. On aura donc le développement suivant :

, ^ . , ., , 2 /cos.r cosS.r cos5.r cos7.r

cos9.jr cos4.r cosG.r

Le second membre est représenté par une ligne composée d'arcs paraboliques et de lignes droites.

On pourra trouver de la même manière le développement d'une fonction de x qui exprime l'ordonnée du contour d'un trapèze. Supposons que ç(^) soit égale à x depuis x =^ o jusqu'à x = ol, que cette fonction soit égale à a depuis x = a jusqu'à a? = -ïi — a, et enfin égale à 7: — vT, depuis x = t. — % jusqu'à x = t.. Pour la réduire en une