CHAPITRE III.- SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI

série de sinus d'arcs multiples, on se servira de l'équation générale (D). Le terme général fff[x)smi.rdx sera, composé de trois parties diffé-

rentes, et l'on aura, après les réductions, -j sine a pour le coefficient

de sinia?, lorsque /est un nombre impair; et zéro pour ce coefficient, lorsque /est un nombre pair. On parvient ainsi à l'équation

l 7 (^(jp) = sina s'injc -h tt-^ sin3asiîi3.r

H- -^ snijasinj.r h — - sinrasin^^r -h D- 7

Si l'on supposait a = -> le trapèze se confondrait avec le triangle iso-

scèle, et l'on aurait, comme précédemment, pour l'équation du contour de ce triangle

-(p(j) =: siii.r — „, siii3^' -h ^- sin5j: ; sin7 x -f*. . .,

série qui est toujours convergente quelle que soit la valeur de x. En général, les suites trigonométriques auxquelles nous sommes parvenus en développant les diverses fonctions sont toujours convergentes; mais il ne nous a point paru nécessaire de le démontrer ici : car les termes qui composent ces suites ne sont que les coefficients des termes des séries qui donnent les valeurs des températures; et ces coefticients affectent des quantités exponentielles qui décroissent très rapidemerU, en sorte que ces dernières séries sont très convergentes. A l'égard de celles où il n'entre que des sinus ou des cosinus d'arcs multiples, il est également facile de prouver qu'elles sont convergentes, quoiqu'elles représentent les ordonnées des lignes discontinues. Cela ne résulte pas seulement de ce que les valeurs des termes diminuent continuellement; car cette condition ne suffit pas pour établir la convergence d'une série. Il est nécessaire que les valeurs auxquelles on parvient, en augmentant continuellement le nombre des termes, s'approchent de plus en plus d'une limite fixe et ne s'en écartent que d'une quantité qui peut devenir moindre que toute grandeur donnée : cette limite est

la valeur de la série. Or on démontre rigoureusement que les suites dont il s'agit satisfont à cette dernière condition.

Nous reprendrons l'équation précédente (X), dans laquelle on peut donner à x une valeur quelconque; on considérera cette quantité comme une nouvelle ordonnée, ce qui donnera lieu à la construction suivante.

Ayant tracé sur le plan des xy [fig, 8) le rectangle dont la base Ou

Fig. 8.

est égale à la demi-circonférence et dont la hauteur est -> sur le milieu m du côté parallèle à la base on élèvera perpendiculairement au plan du rectangle une ligne égale à - et, par l'extrémité supérieure de cette ligne, on tirera des droites aux quatre angles du rectangle. On formera ainsi une pyramide quadrangulaire. Si l'on porte maintenant sur le petit côté du rectangle, à partir du point 0, une ligne quelconque égale à a, et que par l'extrémité de cette ligne on mène un plan parallèle à la base Oir, et perpendiculaire au plan du rectangle, la section commune à ce plan et au solide sera le trapèze, dont la hauteur est égale à a. L'ordonnée variable du contour de ce trapèze est égale, comme nous venons de le voir, a

- ( sina sino: -h — sin3asin3a7 4- p;: sin5asin5j: H — - sin7asin7^ -+-. . . ).

Il suit de là qu'en appelant x, j, z les coordonnées d'un point quelconque de la surface supérieure de la pyramide quadrangulaire que nous avons formée, on aura pour l'équation de la surface du polyèdre.

CHAPITRE III.- SOLIDE RECTANGULAIRE INFINI. 223 entre les limites a: = o, a? — ir, y = o, y=:-,

t:z sinj"sinv sin3^sin3r sin5j7sin5v

Cette série convergente donnera toujours la valeur de l'ordonnée z, ou de la distance d'un point quelconque de la surface au plan des œy.

Les suites formées de sinus ou de cosinus d'arcs multiples sont donc propres à représenter, entre des limites déterminées, toutes les fonctions possibles, et les ordonnées des lignes ou des surfaces dont la loi est discontinue. Non seulement la possibilité de ces développements est démontrée, mais il est facile de calculer les termes des séries; la valeur d'un coefficient quelconque dans l'équation

est celle d'une intégrale définie, savoir

— I (p(^) s'in iûc d.r.

Quelle que puisse être la fonction ^{x), ou la forme de la courbe qui la représente, l'intégrale a une valeur déterminée qui peut être introduite dans le calcul. Les valeurs de ces intégrales définies sont analogues à celle de l'aire totale fo[x)dx comprise entre la courbe et l'axe dans un intervalle donné, ou k celles des quantités mécaniques, telles que les ordonnées du centre de gravité de cette aire ou d'un solide quelconque. Il est évident que toutes ces quantités ont des valeurs assignables, soit que la figure des corps soit régulière, soit qu'on leur donne une forme entièrement arbitraire.

Si l'on applique ces principes à la question du mouvement des cordes vibrantes, on résoudra les difficultés qu'avait d'abord présentées l'analyse de Daniel Bernoulli. La solution donnée par ce géomètre suppose qu'une fonction quelconque peut toujours être développée en séries de

sinus ou de cosinus d'arcs multiples. Or, de toutes les preuves de cette proposition, la plus complète est celle qui consiste à résoudre en effet une fonction donnée en une telle série dont on détermine les coefficients.

Dans les recherches auxquelles on applique les équations aux différences partielles, il est souvent facile de trouver des solutions dont la somme compose une intégrale plus générale; mais l'emploi de ces intégrales exigeait que Ton en déterminât l'étendue, et que l'on put distinguer clairement les cas où elles représentent l'intégrale générale de ceux oii elles n'en comprennent qu'une partie. Il était nécessaire surtout d'assigner les valeurs des constantes, et c'est dans la recherche des coefficients que consiste la difficulté de l'application. Il est remar- (fuahle que l'on puisse exprimer par des séries convergentes et, comme on le verra dans la suite, par des intégrales définies les ordonnées des lignes et des surfaces qui ne sont point assujetties à une loi continue. On voit par là qu'il est nécessaire d'admettre dans l'analyse des fonctions qui ont des valeurs égales, toutes les fois que la variable reçoit des valeurs quelconques comprises entre deux limites données, tandis qu'en substituant dans ces deux fonctions, au lieu de la variable, un nombre compris dans un autre intervalle, les résultats des deux substitutions ne sont point les mêmes. Les fonctions qui jouissent de cette propriété sont représentées par des lignes difierentes qui ne coïncident que dans une portion déterminée de leur cours et offrent une espèce singulière d'osculation finie. Ces considérations prennent leur origine dans le calcul des équations aux différences partielles; elles jettent un nouveau jour sur ce calcul et serviront à en faciliter l'usage dans les théories physiques.

Les deux équations générales qui expriment le développement d'une fonction quelconque en cosinus ou en sinus d'arcs multiples donnent lieu à plusieurs remarques qui font connaître le véritable sens de ces théorèmes et en dirigent l'application.