CHAPITRE IV. - AHMILLE. 2V

situés aux deux extrémités d'un même diamètre, en représentant par .r, et x^ leurs distances respectives à l'origine, par r, et v.^ leurs températures correspondantes au temps /, on aura

r, izz I ft^ -}- lai sin ^ -h bi cos -7 j e '* <?-'", V, = Uo -h (ai sin y -+- ^1 cos ^\e~ '"* e- '".

F^os sinus des arcs ~ et —* ne différent que par le signe, et il en est do même dos quantités cos — et cos — ; donc

!ll^b,e-'".

Ainsi la demi-somme des températures des points opposés donne une quantité 6o^~^S qui serait encore la même si l'on avait choisi deux points situés aux extrémités d'un autre diamètre. Cette quantité hoC'^^ ^st, comme on l'a vu plus haut, la valeur de la température moyenne après le temps /. Donc la demi-somme des températures des deux points opposés quelconques décroît continuellement avec la température moyenne de l'anneau et en représente la valeur sans erreur sensible, après que le refroidissement a duré un certain temps. Examinons plus particulièrement en quoi consiste ce dernier état, qui est exprimé par l'équation

I ^0 -h ( «1 sin - -h ^, cos '—je '* e~'".

i — \bo-i-

Si l'on cherche d'abord le point de l'anneau pour lequel on a la condition

rti sin ^^ — h ^1 cos — == o /• /•

ou

- = arctang

on voit que la température de ce point est, à chaque instant, la tempé- F. 32

rature moyenne de l'anneau. II en est de même du point diamétralement opposé, car l'abscisse x de ce dernier point satisferait encore a l'équation précédente

X ( bx - =:arc tang

Désignons par X la distance a laquelle le premier de ces points est placé, on a

^i = — «itang-

et, en substituant cette valeur de 6,,

Si l'on prend maintenant pour origine des abscisses le point qui répondait à l'abscisse X, et que l'on désigne par u la nouvelle abscisse X — X, on aura, h désignant une nouvelle constante,

<' z=z t'-'*' ( 60 -h ^ sin - t^ '■*

A l'origine, où l'abscisse u est o, et au point opposé, la température v est toujours égale à la température moyenne; ces deux points divisent la circonférence de l'anneau en deux parties dont l'état est pareil, mais de signe opposé. Chaque point de l'une de ces parties a une température qui excède la température moyenne, et la quantité de cet excès est proportionnelle au sinus de la distance à l'origine; chaque point de l'autre partie a une température moindre que la température moyenne, et la différence est la même que l'excès dans le point opposé. Cette distribution symétrique de la chaleur subsiste pendant toute la durée du refroidissement. Il s'établit, aux deux extrémités de la moitié échauflee, deux flux de chaleur dirigés vers la moitié froide, et dont l'effet est de rapprocher continuellement l'une et l'autre moitié de l'armille de la température moyenne.

On remarquera maintenanlque, dans l'équation générale qui donne la valeur de t^, chacun des termes est de la forme

ai sint— 4- 6| cosi— \e "* er^^\

on pourra donc tirer, par rapport à chaque terme, des conséquences analogues aux précédentes. En effet, désignant pîir X la distance pour laquelle le coefficient

ce JC

ai sin / — H- bi cos / — r r

est nul, on aura Téquation

bi=i — a/tang£ — j

et cette substitution donne, pour la valeur du coefficient,

a étant une constante. Il suit de là que, en prenant pour l'origine des coordonnées le point dont l'abscisse était X, et désignant par u la nouvelle abscisse a? — X, on aura, pour exprimer les changements de

cette partie de la valeur de ^, la fonction ae'^^'sin — e ''\

Si cette même partie de la valeur de v subsistait seule, en sorte que les coefficients de toutes les autres fussent nuls, l'état de l'anneau serait représenté par la fonction

ht • '^ -" F*

et la température de chaque point serait proportionnelle au sinus du multiple i de la distance angulaire de ce point à l'origine. Cet état est analogue à celui que nous avons décrit précédemment; il en diflere en ce que le nombre des points qui ont une même température toujours égale à la température moyenne de l'anneau n'est pas 2 seulement,

mais est en général égal à 21. Chacun de ces points ou nœuds sépare deux portions contiguës de l'anneau, qui sont dans un état semblable, mais désigne opposé. La circonférence se trouve ainsi divisée en plusieurs parties égales dont l'état est alternativement positif ou négatif. Le flux de la chaleur est le plus grand possible dans les nœuds; il se dirige toujours vers la portion qui est dans l'état négatif et il est nul dans le point qui est à égale distance de deux nœuds consécutifs. Les rapports qui existent alors entre les températures se conservent pendant toute la durée du refroidissement, et ces températures varient ensemble très rapidement, proportionnellement aux puissances successives de la fraction

Si l'on donne successivement à i les valeurs o, i, 2, 3, 4» ••• > o" connaîtra tous les états réguliers et élémentaires que la chaleur peut affecter pendant qu'elle se propage dans un anneau solide. Lorsqu'un de ces modes simples est une fois établi, il se conserve de lui-même et les rapports qui existaient entre les températures ne changent point; mais, quels que soient ces rapports primitifs et de quelque manière que l'anneau ait été échauffé, le mouvement de la chaleur se décompose de lui-même en plusieurs mouvements simples, pareils à ceux que nous venons de décrire, et qui s'accomplissent tous à la fois sans se troubler. Dans chacun de ces états, la température est proportionnelle au sinus d'un certain multiple de la distance à un point fixe. La somme de toutes ces températures partielles, prises pour un seul point dans un même instant, est la température actuelle de ce point. Or les parties qui composent cette somme décroissent beaucoup plus rapidement les unes que les autres; il en résulte que ces états élémentaires de l'anneau, qui correspondent aux différentes valeurs de i et dont la superposition détermine le mouvement total de la chaleur, disparaissent en quelque sorte les uns après les autres. Ils cessent bientôt d'avoir une influence sensible sur la valeur de la température, et laissent subsister seul le premier d'entre eux, pour lequel la valeur de i est la