CHAPITRE IV. - ARMILLE. 2fc

i" Si l'on suppose k infini, Tétat de l'anneau sera exprimé ainsi

OU, en désignant par M la température moyenne initiale,

La température d'un point quelconque deviendra subitement égale à la température moyenne et les différents points conserveront toujours des températures égales, ce qui est une conséquence nécessaire de riiypothëse où Ton admet une conducibilité infinie.

3" On aura le même résultat si le rayon r de l'anneau est infiniment petit.

3** Pour trouver la température moyenne de l'anneau après un

temps /, il faut prendre l'intégrale / v dx, depuis x = o jusqu'à

x= 2irr, et diviser par 2Tzr. En intégrant entre ces limites les différentes parties de la valeur de ç et supposant ensuite x = 2'î:r, on trouvera que les valeurs totales des intégrales sont nulles, excepté pour le premier terme; la température moyenne a donc pour valeur, après le temps /, la quantité Mc^^ Ainsi, la température moyenne de l'anneau décroit de la même manière que si la conducibilité était infinie; les variations occasionnées par la propagation de la chaleur dans ce solide n'influent point sur la valeur de cette température.

Dans les trois cas que nous venons de considérer, la température décroit proportionnellement aux puissances de la fraction e~'^^ ou, ce qui est la même chose, à l'ordonnée d'une courbe logarithmique, l'abscisse étant égale au temps écoulé. Cette loi est connue depuis longtemps; mais il faut remarquer qu'elle n'a lieu, en général, que si les corps ont une petite dimension. L'analyse précédente nous apprend que, si le diamètre d'un anneau n'est, pas très petit, le refroidissement d'un point déterminé ne serait pas d'abord assujetti à cette loi; il n'en est

pas de même de la température moyenne, qui décroit toujours proportionnellement aux ordonnées d'une logarithmique. Au reste, il ne faut point perdre de vue que la section génératrice de l'armille est supposée avoir des dimensions assez petites pour que les points de la même section ne diffèrent point sensiblement de température.

4^ Si Ton voulait connaître quelle est la quantité de chaleur qui s'échappe dans un temps donné par la superficie d'une portion donnée

de l'anneau, il faudrait employer l'intégrale hl j dt 1 vdx, et prendre

cette intégrale entre les limites qui se rapportent au temps. Par exemple, si l'on choisit o, 27: pour les limites de a? et o, «> pour les limites de /, c'est-à-dire si l'on veut déterminer toute la quantité de chaleur qui s'échappe de la superficie entière pendant toute la durée du refroidissement, on doit trouver, après les intégrations, un résultat égal à toute la chaleur initiale ou 2'n:rMGDS, M étant la température moyenne initiale.

5^ Si l'on veut connaître combien il s'écoule de chaleur dans un temps donné, à travers une section déterminée de l'anneau, il faudra

employer l'intégrale — KS / ^dt, en mettant pour ^ la valeur de

cette fonction, prise au point dont il^s'agit.

6^ La chaleur tend à se distribuer dans l'anneau suivant une loi qui doit être remarquée. Plus le temps écoulé augmente et plus les termes qui composent la valeur de v dans l'équation (Ë) deviennent petits par rapport à ceux qui les précèdent. Il y a donc une certaine valeur de / pour laquelle le mouvement de la chaleur commence à être sensiblement représenté par l'équation

)/it

Cette même relation continue à subsister pendant la durée infinie du refroidissement. Si, dans cet état, on choisit deux points de l'anneau