CHAPITRE IV. — ARMILLE

Les valeurs générales des variables a,, a.», a,, ..., 0L,^ sont donc exprimées par les équations suivantes :

— 2 — / kin V//,

aj = (Al sinowi -h Bi cosoMi)<? '"

— î-/nlnVi/,

-h (A, sino</t -{- Bs coso«2)<? '"

— I — I iln\ l'i

(AsSUJo/Zj -h B3C0S0«s)e "*

.. V -8- MinVr/,

aiiZ=z (Al sin i «i -h Bi cosi ii^je ^ (A,smi w, -f- Bjcosi Ui)e "•

— J — / Bin V w,

(AjSin I Ui 4- B3COS1 11^)6 '"

a3=: (Aj sinQi/i -f- BiC0S2W,)e? '"

— î— / sInViij H- (A2 Sin2f/2 H- BjC0S2 Wj)^ *"

^ -î-/»lnV/',

a„— [Al sin(/i — i)a, 4-Bi cos(n — i)W| Je "* H- [A,sin(/i — i)«i -H Bj cos(/i — i)m2]^ '" [A3Sl^(/^— i)m3 H-B3C0s(/i — i)w3]e '"

Si Ton suppose le temps nul, les valeurs a,, aj, .. ., a;, doivent se confondre avec les valeurs initiales a,, a^, ..., a„. On tire de là un nombre n d'équations qui doivent servir à déterminer les coefficients A,, B,, A2, Ba, ..., A„, B;,. On reconnaîtra facilement que le nombre des inconnues est toujours égal à celui des équations. En effet, le nombre des termes qui entrent dans la valeur de chacune des variables dépend du nombre des quantités différentes sinVW|, sinVi/^,

sinVi/3, ... qu'on trouve en divisant la circonférence 27: en un nombre n de parties égales. Or le nombre des quantités sinVo — , sinVi ^^> sinV2 — » ••• est beaucoup moindre que /i» si Ton ne compte

que celles qui sont différentes. En désignant le nombre n, par 21 + 1

s'il est impair, et par 21 s'il est pair, i + i désignera toujours le nombre

des sinus verses diflerents. D'un autre côté, lorsque, dans la suite des

quantités

smVo — > sm\ I — » smVs — > •••> n n n

on parviendra à un sinus verse, sinVX— » égal à l'un des précédents

sinVX --> les deux termes des équations qui contiendront ce même

sinus verse n'en formeront qu'un seul; les deux arcs différents ux et uy qui auront le même sinus verse auront aussi le même cosinus, et les sinus ne différeront que par le signe. Il est aisé de voir que ces arcs Ux et ux' qui ont le même sinus verse sont tels que le cosinus d'un multiple quelconque de i/x est égal au cosinus du même multiple de uy et que le sinus d'un multiple quelconque de ux ne diffère que par le signe du sinus du multiple de uy. Il suit de là que, lorsqu'on réunit en un seul les deux termes correspondants de chacune des équations, les deux indéterminées Ax et Av qui entrent dans les équations sont remplacées par une seule indéterminée, savoir Ax — Ax'- Quant aux deux indéterminées Bx et Bx', elles sont aussi remplacées par une seule, qui est Bx + Bx; il en résulte que le nombre des indéterminées est égal, dans tous les cas, au nombre des équations. Car le nombre des termes est toujours i -h i; il faut ajouter que l'indéterminée A, disparait d'elle-même dans tous les premiers termes, parce qu'elle multiplie le sinus d'un arc nul. De plus, lorsque le nombre n est pair, il se trouve, à la fin de chaque équation, un terme dans lequel une des indéterminées disparait encore d'elle-même, parce qu'elle y multiplie un sinus nul; ainsi le nombre des inconnues qui entrent dans les équations est égal à 2(14-1) — 2 lorsque le nombre n est pair et à