CHAPITRE IV. ~ ARMILLË

somme des suivants. Il en est de même du second par rapport aux termes qui le suivent; et, lorsque le temps a acquis une valeur considérable» la valeur de olj est représentée sans erreur sensible par l'équation suivante :

' V^ . ^ r • / • \ 271 VI . , . .27:

27r V^ 2 TT I

cos(/— 1) — 7.aiCos{i — 1) — le '" ".

En désignant par a et h les coefficients de sin(y— i)— et de cos(y — i) — » et par (*> la fraction e '^ " , on aura

Wm

aj = j^^f^i^- U sin(y — i) ^ 4- ^^ cos(y - 0 ^ ^'^'•

Les quantités a et 6 sont constantes, c'est-à-dire indépendantes du temps et de la lettre y qui indique le rang de la masse dont la température variable est olj\ ces quantités sont les mêmes pour toutes les masses. La différence de la température variable olj à la température

finale -2^' décroît donc, pour chacune des masses, proportionnellement aux puissances successives de la fraction od. Chacun des corps tend, de plus en plus, à acquérir la température finale - ^la/, et la dif-

férence entre cette dernière limite et la température variable du même corps finit toujours par décroître comme les puissances successives d'une fraction. Cette fraction est la même, quel que soit le corps dont on considère les changements de température; le coefficient de a>', ou

asinWy-H 6 COS My,

en désignant par Uj l'arc (y — i) — > peut être mis sous la forme

Asin(My4- B), en prenant A et B tels que l'on ait

a=:AcosB, ft = AsinB.

Si l'on voulait déterminer le coefficient de w' qui se rapporte aux corps suivants, dont la température est ay^.,, ay^^» ^yvs» •••• il faudrait ajouter à U: l'arc — > ou 2 — , et ainsi de suite; c'est-à-dire que Ton a les équations

«y y^a/ = A sin (B -h wy)&i'-f-. . .,

ay-f , 2^'" A sin( B 4- WyH- i -^ jw^-H. . .,

ay^ s \^ a,- = A sin f B -h «y -+- 2 — J w' -h . . . ,

ay-H3 2^'~ A sinf B -+- wy-h 3 — jw'-h. . .,

On voit par ces équations que les dernières différences entre les températures actuelles et les températures finales sont représentées par les équations précédentes, en ne conservant que le premier terme du second membre de chaque équation. Ces dernières différences varient donc selon la loi suivante : si l'on ne considère qu'un seul corps, la différence variable dont il s'agit, c'est-à-dire l'excès de la température actuelle du corps sur la température finale et commune, diminue comme les puissances successives d'une fraction, le temps augmentant par parties égales; et si l'on compare, pour un même instant, la température de tous les corps, la différence dont il s'agit varie proportionnellement aux sinus successifs de la circonférence divisée en parties égales. La température d'un même corps, prise à divers instants successifs égaux, est représentée par les ordonnées d'une logarithmique dont l'axe est divisé en parties égales, et la température de chacun de ces corps, prise au même instant pour tous, est représentée par les ordonnées du cercle dont la circonférence est divisée en parties égales. Il est facile de voir, comme on l'a remarqué plus haut, que, si les températures initiales sont telles que les différences de ces températures à la température moyenne ou finale soient proportion-

nelles aux sinus successifs des arcs multiples, ces différences diminueront toutes à la fois sans cesser d'être proportionnelles aux mêmes sinus. Cette loi, si elle régnait entre les températures initiales, ne serait point troublée par l'action réciproque des corps et se conserverait jusqu'à ce qu'ils eussent tous acquis une température commune. La différence diminuerait pour chaque corps comme les puissances successives d'une même fraction. Telle est la loi la plus simple à laquelle puisse être assujettie la communication de la chaleur entre une suito de masses égales. Lorsque cette loi est établie entre les températures initiales, elle se conserve d'elle-même; et, lorsqu'elle ne règne point entre les températures initiales, c'est-à-dire lorsque les différences de ces températures à la température moyenne ne sont pas proportionnelles aux sinus successifs des arcs multiples, la loi dont il s'agit tend toujours à s'établir; et le système des températures variables tînit bientôt par se confondre sensiblement avec celui qui dépend des ordonnées du cercle et de celles de la logarithmique.

Puisque les dernières différences entre l'excès de la température d'un corps sur la température moyenne sont proportionnelles aux sinus de l'arc à l'extrémité duquel le corps est placé, il s'ensuit que, si l'on désigne deux corps placés aux extrémités du même diamètre, la température du premier surpassera la température moyenne et constante autant que cette température constante surpassera celle du second corps. C'est pourquoi, si l'on prend à chaque instant la somme des températures de deux masses dont la situation est opposée, on trouvera une somme constante; et cette somme aura la même valeur pour deux masses quelconques placées aux extrémités d'un même diamètre.

Les formules qui représentent les températures variables des masses disjointes s'appliquent facilement à la propagation de la chaleur dans les corps continus. Pour en donner un exemple remarquable, nous déterminerons le mouvement de la chaleur dans une armille au moyen de l'équation générale qui a été rapportée précédemment.

29i THÉORIE DE LA CHALEUR.

On supposera que le nombre n des masses croit successivement, et qu'en même temps la longueur de chaque masse décroit dans le même rapport, afin que la longueur du système ait une valeur constante égale à 2 7:. Ainsi le nombre n des masses sera successivement a, ou 4» ou 8,

ou i6, à rinfini, et chacune des masses sera ir, ou -> ou 7> ou ^> • • • •

Il est nécessaire de supposer aussi que la facilité avec laquelle la chaleur se transmet augmente dans le même rapport que le nombre des masses m; ainsi la quantité que représente K lorsqu'il n'y a que deux masses devient double lorsqu'il y en a quatre, quadruple s'il y en a huit, et ainsi de suite. En désignant par g cette quantité, on voit que

le nombre K devra être successivement remplacé par g, :tg, [\g^

Si l'on passe maintenant à la supposition du corps continu, on écrira, au lieu de m, valeur de chaque masse infiniment petite, l'élément dx\

au lieu du nombre n des masses, on mettra -r-; au lieu de K, on mettra g" - ou ^ •

Quant aux températures initiales a^, a^, . . ., a^,, elles dépendent de la valeur de l'arc x et, en considérant ces températures comme les états successifs d'une même variable, la valeur générale a, représente

une fonction arbitraire de x. L'indice i sera alors remplacé par -r

A l'égard des quantités a,, a^, . .., a„, ces températures sont des variables qui dépendent des deux quantités x et /. En désignant par r cette variable, on aura ç = (^[x^t). L'indicey, qui marque la place que

l'un des corps occupe, sera remplacé par^- Ainsi, pour appliquer l'analyse précédente au cas où l'on aurait une infinité de tranches, formant un corps continu dont la forme serait celle d'une armille, il faudra substituer aux quantités

celles qui leur correspondent, savoir

On fera ces substitutions dans Téquation (e) de Tarlicle 273 et l'on écrira 7 fite^ au lieu de sinVé/a:, et i et y au lieu de i— \ ety — i. Le

premier terme -Va,- devient la valeur de l'intégrale — \f[^)d.v prisr

depuis J7 = o jusqu'à a? = ii:\ la quantité 8in(y — i) — devient siny ^.r ou sin.r; la valeur de cos(y — i) — est cos.r; celle de

est

- > a/sin(« — i) — - / /('^) sin.r ûLr,

l'intégrale étant prise depuis x = o jusqu'à x = air, et celle de

est

— > «/COSie — i) — n ^d n

- i f{oc)cosxdjry

l'intégrale étant prise entre les mêmes limites. On obtient par ces substitutions l'équation

o(.r,0 = <'= — / f{'^)dx-\ — Isinj?/ f{x)%\nxdx-\-cQ%xï /{x)cosx(Lr

-4 — Isinaj?/ /(x)s'm2xdx -\- C0S2X I /{x) cos 2 x lix le -'^'"^^

f^'KTA

et, représentant par k la quantité ^1:, on aura

( TTi' = - I f{x) dx H- sino? I f{x)%\vixdx -h cos j? i f(x) cos.t* dx

\ %^n «^ft »'ii

sm^x I /{x)sm'ixdx -\-co^2x I /{x)cos2xdx\e^*^' ■0 «^0 .1

Cette solution est la même que celle qui a été rapportée dans la Section précédente (p. 244); elle donne lieu à diverses remarques :

i^ Il ne serait pas nécessaire de recourir à Tanalyse des équations aux différences partielles pour obtenir l'équation générale qui exprime le mouvement de la chaleur dans une armille. On pourrait résoudre la question pour un nombre déterminé de corps et supposer ensuite ce nombre infini. Cetle méthode de calcul a une clarté qui lui est propre, et qui dirige les premières recherches. Il est facile ensuite de passer à une méthode plus concise, dont la marche se trouve naturellement indiquée. On voit d'abord que la distinction des valeurs particulières qui, satisfaisant à l'équation aux différences partielles, composent la valeur générale dérive de la règle connue pour l'intégration des équations différentielles linéaires dont les coefficients sont constants. Cette distinction est d'ailleurs fondée, comme on l'a vu plus haut, sur les conditions physiques de la question.

2*^ Pour passer du cas des masses disjointes à celui d'un corps continu, nous avons supposé que le coefficient K augmentait proportionnellement au nombre n des masses. Ce changement continuel du nombre K est une suite de ce que nous avons démontré précédemment, savoir que la quantité de chaleur qui s'écoule entre deux tranches d'un

même prisme est proportionnelle à la valeur de ^> x désignant l'abscisse qui répond à la section et r la température. Au reste, si l'on ne supposait point que le coefficient K augmente proportionnellement au nombre des masses et que l'on retint une valeur constante pour ce coefficient, on trouverait, en faisant n infini, un résultat contraire à celui qu'on observe dans les corps continus. La diffusion de la chaleur serait infiniment lente et, de quelque manière que la masse eût été échauffée, la température d'un point ne subirait aucun changement sensible pendant un temps déterminé, ce qui est opposé aux faits. Toutes les fois que Ton a recours à la considération d'un nombre infini