CHAPITRE IV. - ARMILLE

de masses séparées qui se transmettent la chaleur et que Ton veut passer au cas des corps continus, il faut attribuer au coefficient K, qui mesure la vitesse de la transmission, une valeur proportionnelle au nombre des masses infiniment petites qui composent le corps donné. 3® Si, dans la dernière équation que nous venons d'obtenir pour exprimer la valeur de i\ ou ç(^, t), on suppose / = o, il sera nécessaire que l'équation représente l'état initial; on aura donc par cette voie l'équation {p) que nous avons obtenue précédemment (p. 23o), savoir :

7r/(jr) — - / /{x) dx -}- cosx I f{x)cosxdx -h cos^x j /{x)C0S2xdx -^. , .

f /{x)s\nxdx -^s\iï2x I f{x)s\n2xdx ■+-. . ,

Ainsi ce théorème qui donne, entre des limites assignées, le développement d'une fonction arbitraire en série de sinus et de cosinus d'arcs multiples se déduit des règles élémentaires du calcul. On trouve ici l'origine du procédé que nous avons employé pour faire disparaître par des intégrations successives tous les coefficients, excepté un seul, dans l'équation

<p(a?) = a -f- aicosj: -\- a^cos2x -f- a^cos^x -h. . . -H ^, sin a: 4- ^, sin 2 ^ -+- ^3 sin 3 ^ -h . . . ;

ces intégrations correspondent aux éliminations des diverses inconnues dans les équations (m) (p. 280 et suiv.) et l'on reconnaît clairement par cette comparaison des deux méthodes que l'équation (B) (page suivante) a lieu pour toutes les valeurs de x comprises entre o et 211, sans que l'on soit fondé à l'appliquer aux valeurs de œ qui excèdent ces limites.

La fonction (f{Xft) qui satisfait à la question, et dont la valeur est déterminée par l'équation (E) (p. 295), peut être exprimée comme il

suit :

2T.o(x, t) z:^ f/{(x) doc -h [2s\nx ff{(x)s\n(xdoc-h 2COSJ7 //(a) cosa doi]e-^^

-+- [2 s\n2j:f/{<x) sinaa é/a H- 2 cos2j? /*/(«) cosaa t/a]e-*'*' -h[2sin3j7 /y(a)sin3a«/a4-2C0s3j? f/{<x)cos3cxdoi]e-^'^'

ou

f /(a)^a[î -f- (2 sino; sina -h 2 cosa:cosa)e-*'

-i-(2sin2^'sin2a-h2 cos 2 a? cos 2 a) e~*'*'

-f- (2 sinSjJsinSa-h 2 cos 3 j? cos 3 a) e-''^'

' /(a)[i -h 2 2 cos c (a — ^) «-''*'] ^a.

Le signe D affecte le nombre {, et indique que la somme doit être prise de t = I k I = 00. On peut aussi comprendre le premier terme i sous ce signe 2 et Ton a

/(a)^ cos«(a — x)e- *'*'é/a.

Il faut alors donner à i toutes ses valeurs en nombres entiers depuis

— 00 jusqu'à H-ao; c'est ce que Ton a indiqué en écrivant les limites

— Qo et -f- 00 auprès du signe 2; l'une de ces valeurs de i est o. Telle est l'expression la plus concise de la solution. Pour développer le second membre de l'équation, on supposera i= o et ensuite t == i, 2, 3, 4» .. .; on doublera chaque résultat, excepté le premier qui répond ki=o. Lorsque / est nul, il est nécessaire que la fonction o{jCyt) représente l'état initial, dans lequel les températures sont égales à /(.r); on aura donc l'équation identique (*)

(B) /(a:) = ^f /(a)^cosi(«-^)^a.

On a joint aux signes/ et D les indices des limites entre lesquelles

(») Foir, au sujet do cette formule, la Note de l'article 235, p. 234. G. D.