CHAPITRE VII. - PRISME RECTANGULAIRE

miep coefficient a,. On suivra un procédé semblable pour déterminer les coefficients suivants. En général, si Ton multiplie les deux membres de l'équation par cosvyrfy, v étant l'une quelconque, des valeurs de /^ et que l'on intègre, un terme quelconque du second membre qui serait représenté par acosny donnera naissance à l'intégrale

a I cosny cosvv dy

-al cos {n — v) V c(x H — « / cos ( n -h v ) >' ciy OU

- sin(/ï — y)y -^ sin(/i + v) v

et, faisant j = /,

a (/î -h v) sin(/i — v)l-h{n — v) sin(/i -I- v)/

Or chaque valeur de n satisfait à l'équation

n\angnl=z j^;

il en est de même de v : on aura donc

/ilang/i/:= V langv/

n sin ni cos v / — v sin v / cos ni = o.

Ainsi l'intégrale précédente, qui se réduit à

■^{n sin/i/cosv/ — vcos/i/sinv/),

est nulle. Il faut excepter le seul cas où ^ — v. En reprenant alors l'intégrale

a rsin(/i -^v)/ sin(rt-hv)/l

on voit que, si Ton a /i = v, elle équivaut à la quantité -('-+- V

Il résulte de là que si, dans Téquation

i=z:a, cos/i,y -h Ut COS riif -h a^cosn^y -h . . .,

on veut déterminer le coefficient d'un terme du second membre désigné paracos/ij, il faut multiplier les deux membres par cosnydy^ et intégrer depuis y = o jusqu'à j = /. On aura pour résultat l'équation

r » «/, sin2/i?\ I . ,

/ cos ny dyz=z - i-\ ) := - sm n L

Jo ^V 2/t ) n

d'où l'on tire

sin/z/ a

2nl -\- su\2nl 4

On déterminera de cette manière les coefficients a,, a^, a,, ...; il en sera de même des coefficients 6,, b.^, b^, . . ., qui seront respectivement les mêmes que les précédents.

Il est aisé maintenant de former la valeur générale de i^ : i** elle satisfera à l'équation

dx* dy* dz

2*" elle satisfera aux deux conditions

K^ — [-hvz=zo et K-z — h/*t'=^o; dy âz

3** elle donnera une valeur constante pour v, lorsqu'on fera a; = o, quelles que soient d'ailleurs les valeurs de y et des, comprises entre o et /; donc elle résoudra dans toute son étendue la question proposée. On est parvenu ainsi à l'équation

I sin/i,/cos/i,/ sinn^ l cos n^y sînn^l cos n^y

4 2/1,/-+- sin2/i,/ 2/i,/-i- sin2/e,/ 2/I3/ -f- sin2«3/ *'*' ou, en désignant par £,, s^» £3» •• • l^s arcs w,/, n^l, n^l, ...,

£iV

sine, cos -y^

csr

sm£i

cos — ^

Ê, cos "Y^

- Sin2£,

2£, -hsm2e.

-h Sm26j