CHAPITRE VIL — PRISME. RECTANGULAIRE

On prendra successivement pour n et pour/? toutes les valeurs possibles, qui sont y> y» y> — Désignant par a,, a^, a,, ...; h^y b.^,

Aj, ... des coefficients constants, on ^exprimera la valeur de v par l'équation suivante (*) :

v^=L-\- (a,e~^^'»î-^'*î cos/ïij4- a,e-*^'*î"^'»î cos/ijj H-- • J^i cos/i,^ -4- («ie-'^>^'*î"*-'*î cos/iij-h aje-^^^î^-^î cos/2,/-h. . .)Aj cosw,:;

4- (aie-*>'^"î-^«îcos/ii7-f- a,e-*^"5-^"îcos/i2 J-H. . .)^s cosAij^

Si l'on suppose maintenant la distance x nulle, il faudra que chaque point de la section A conserve une température constante. Il est donc

( * ) Si Ton suivait strictement la méthode générale indiquée par Fourier, on serait conduit, pour la valeur de c, à la série

(i) i' = 2 2 A/^it^-W"'-»-"* C0S///J cos/j;fr2.

où les coefficients ki^k auraient des valeurs quelconques. Fourier prend tout de suite, et

sans donner aucune explication,

A/A = aibk'

Le succès de la méthode justifie, sans Fexpliquor peut-être suftisammcnt, une pareille restriction imposée à la solution générale. Eu choisissant atlk pour la valeur particulière du coefGcient kiki Fourier admet que la série générale doit se réduire, quand on y fait .r = G, au produit de deux séries trigonométriques contenant chacune une seule des variables y y z. Ce point peut être aisément établi, si Ton admet toutefois la légitimité des développements en série employés par Fourier. Faisons, en effet, .r = o dans requation(i); (' devant se réduire à i, on aura

i = 2 2 A /A- cos /// r cos //yl 5 .

Si l'on multiplie les deux membres de cette égalité par cos//aJCOS//û3 et si l'on intègre par rapport à r et à 2 entre les limites o et /, on aura

/ cos«a vrfr / cosnozdz = ^I,Atjc I cos///jco8//ajrfr / COS///1-3 cos//tt2 f/^.

Les résultats établis à l'article 321 montrent que le second membre se réduit à

Ajtp / cos* /ifli^r dr 1 cos' //p z dz ; F. 46

nécessaire qu'en faisant x = o, la valeur de v soit toujours la même, quelque valeur que Ton puisse donner à y ou à z, pourvu que ces valeurs soient comprises entre o et /. Or, en faisant ^ = o, on trouve

i' = (a, cos/i, j -+- a, cos/ii j-h a, cosn^y -h. . .) (6, cos/i|S -+- 6, cosn^z -4- 6, cos/i,5-h...).

En désignant par i la température constante de la base A, on prendra les deux équations

I zzz a, cos/ii vH- ût, cosn^y -h a^cosn^y -h. . ., 1 z=z bx cos /Ij .5 -h 6, cos /i, 5-4-6, cos n, 5 -h

Il suffit donc de déterminer les coefficients a,, a.^^ a^, ..., dont le nombre est fini, en sorte que le second membre de Téquatiou soit toujours égal à Tunité. On a résolu précédemment cette question dans le cas où les nombres ai,, w^, /i,, ... forment la série des nombres impairs (Section H du Chapitre III, page i49)- ïci les quantités n^, n^, /i,, ... sont des irrationnelles, données par une équation d'un degré infiniment élevé.

Posant l'équation

I =a| cos/i| r -h a, cos/i,j-h ajcos/ij j-h. . .,

on en multipliera les deux membres par cosn,yrfv, et l'on prendra l'intégrale depuis y = o jusqu'à y = 1. On déterminera ainsi le pre-

on a donc

sin^/oc/ein/io/

Si l'on pose

"«"8/ C0S'«aj<(|' / cos^nozdz

Clçti — ; = ; : >»

//« / cos*wajrrf/

on a

et Ton obtient les formules déânilives données dans le texte. G. D.