CHAPITRE Vin. - CUBE SOLIDE. â

la valeur de /. Or cette même fonction convient a l'état initial : donc elle représentera tous les états ultérieurs du solide. Ainsi, l'on est assuré que toute solution qui donnerait pour v une fonction différente de la précédente serait erronée.

Si l'on suppose que le temps écoulé / est devenu très grand, on n'aura plus à considérer que le premier terme de l'expression de r; car les valeurs n,, Wj, ... sont rangées par ordre, en commençant par la plus petite. Ce terme est donné par l'équation

/sin/i,a\' ,. ,,

voilà donc l'état principal vers lequel le système des températures tend continuellement, et avec lequel il coïncide sans erreur sensible au bout d'un certain temps. Dans cet état, la température de chacun des points décroît proportionnellement aux puissances de la fraction ^~^K; alors les états successifs sont tous semblables ou plutôt ils ne difierent que par la quantité des températures, qui diminuent toutes comme les termes d'une progression géométrique en conservant leurs rapports.

On trouvera facilement, au moyen de l'équation précédente, la loi suivant laquelle les températures décroissent d'un point à l'autre dans le sens des diagonales ou des arêtes du cube, ou enfin d'une ligne donnée de position. On reconnaîtra aussi quelle est la nature des surfaces qui déterminent les couches de même température. On voit que, dans l'état extrême et régulier que nous considérons ici, les points d'une même couche conservent toujours la mémo température, ce qui n'avait point lieu dans l'état initial et dans ceux qui lui succèdent immédiatement. Pendant la durée infinie de ce dernier état, la masse se divise en une infinité de couches dont tous les points ont une température commune.

Il est facile de déterminer, pour un instant donné, la température moyenne de la masse, c'est-à-dire celle que l'on obtiendrait en prenant la somme des produits du volume de chaque molécule par sa température et en divisant celte somme par le volume entier. On formera ainsi

l'expression — ^-^ / / i vdxdydz^ qui est celle de la température

moyenne V. L'intégrale doit être prise successivement par rapport à x^ à j et à 5, entre les limites — a et a; v étant égal au produit XYZ, on aura

(iay\ ^ Ç\dx Ç\ dy Çldz;

ainsi la température moyenne est ( / "t~~) 5 ^^^ '^^ \.to\^ intégrales totales ont une valeur commune; donc

La quantité na équivaut à e, qui est une racine de l'équation

ha £ lange = -^,

et (X est égale à - ( n- ^'"^^V On a donc, en désignant les différentes racines de cette équation par e^, e^, . . .,

2 '^ \ ^1 / sin2ei \ Êî /

sin2£.