CHAPITRE VIII. ^ CUBE SOLIDE

L'expression de s^ est donc formée du produit de trois fonctions semblables, l'une de ce, l'autre de y et la troisième de 5, ce qu'il est facile de vérifier immédiatement.

En effet, si, dans l'équation

on suppose

i' =: XYZ,

en dénotant par X une fonction de x et/, par Y une fonction de y et t, et par Z une fonction de z et /, on aura

XY ^'^- + XZ ^' + YZ '^'^ ' ^-' ^'^' -^'^ - ^'^

dt dt de

= .(xv^'î.xz-...g>

on prendra les trois équations séparées

^ — x-^ Êl — k^ <^X. d» X

On doit avoir aussi, pour la condition relative à la surface, <^V A., dY h.. dV A,,

d'où l'on déduit

dX A -- dY h^ âZ h „

d^-*-K^=''' ôy^K^=°' ^-^K^^=*'-

il suit de là que, pour résoudre complètement la question, il suffit de prendre l'équation

du , d^ u dt dx-

et d'y ajouter l'équation de condition

du h

qui doit avoir lieu lorsque ^ = a. On mettra ensuite j ou 5 à la place de X, et Ton aura les trois fonctions X, Y, Z, dont le produit est la valeur générale de v.

Ainsi la question proposée est résolue comme il suit :

sinwjrt . •, sin/i,flf . ,.

(Dix, t) = — COS /Il 07 <?-*"' 'H cos/i,a:e"*"*'

^ 2 cos/i3jre-*'»»'-h . . .;

^ii, ^*2» ^3, ... sont donnés par l'équation suivante

ha e lange = -|^>

dans laquelle t représente na\ la valeur de (x, est

^WiiHia

iriia

On trouve de la même manière les fonctions ç( y, /)» ç(5, /).

On peut se convaincre que cette valeur de v résout la question dans toute son étendue, et que l'intégrale complète de l'équation aux différences partielles (a) doit nécessairement prendre cette forme pour exprimer les températures variables du solide.

En effet, l'expression de (^ satisfait à l'équation (a) et aux conditions relatives à la surface. Donc les variations des températures qui résultent dans un instant de l'action des molécules et de l'action de l'air sur la surface sont celles que l'on trouverait en différentiant la valeur de {^ par rapport à /. Il s'ensuit que si, au commencement d'un instant, la fonction ^ représente le système des températures, elle représentera encore celles qui ont lieu au commencement de l'instant suivant, et l'on prouve de même que l'état variable du solide sera toujours exprimé par la fonction ^, dans laquelle on augmentera continuellement