CHAPITRE VIII. - CUBE SOLIDE

quoi les sinus de ces arcs sont tous positifs; les quantités i

Sin2£,

I ^ j, ... sont positives et comprises entre i et 2. Il suit de là que

tous les termes qui entrent dans la valeur de \/\ sont positifs.

Proposons-nous maintenant de comparer la vitesse du refroidissement dans le cube à celle que Ton a trouvée pour une masse sphérique. On a vu que, pour l'un et l'autre de ces corps, le système des températures converge vers un état durable qu'il atteint sensiblement après un certain temps; alors les températures des différents points du cube diminuent toutes ensemble en conservant les mêmes rapports, et celles d'un seul de ces points décroissent comme les termes d'une progression géométrique, dont la raison n'est pas la même dans les deux corps. Il résulte des deux solutions que, pour la sphère, la raison est

<?-*"*, et, pour le cube, e *'' . La quantité n est donnée par l'équation

cos na h

sxnna K

a étant le demi-diamètre de la sphère; et la quantité £ est donnée par l'équation

£ lange =1^ a,

a étant le demi-côté du cube.

Cela posé, on considérera deux cas différents : celui où le rayon de la sphère et le demi-côté du cube sont l'un et l'autre égaux à a, quantité très petite ; et celui où la valeur de a est très grande.

Supposons d'abord que les deux corps ont une petite dimension ;

-^ ayant une très petite valeur, il en sera de même de e; on aura donc

ha

3E « ^ JJi

donc la fraction e "' est égale à e ^""; ainsi les dernières tempéra-

38i THÉORIE DE LA CHALEUR.

tures que l'on observe ont une expression de cette forme

Ae c««.

Si maintenant, dans Téquation

nacosna h

snina K

on suppose que le second membre diffère très peu de l'unité, on trouve

SA

donc la fraction e~^"' est e ^*^".

On conclut de là que, si le rayon de la sphère est très petit, les vitesses finales du refroidissement dans ce solide et dans le cube circonscrit sont égales et qu'elles sont l'une et l'autre en raison inverse du rayon; c'est-à-dire que, si la température d'un cube dont le demi-côté est a passe de la valeur A à la valeur B dans le temps /, une sphère dont le demi-diamètre est a passera aussi dans le même temps de la température A à la température B. Si la quantité a venait à changer pour l'un et l'autre corps et devenait a', le temps nécessaire pour passer de A à B aurait une autre valeur /' et le rapport des temps t et /' serait celui des demi-côtés a et a'.

Il n'en est pas de même lorsque le rayon a est extrêmement grand ;

car £ équivaut alors à -> et les valeurs de na sont les quantités tt, 21:, Si:, — On trouvera donc facilement, dans ce cas, les valeurs des frac-

tions e ''' , e~^"*; ces valeurs sont e *"' et e "\ On tire de là ces deux conséquences remarquables :

i° Etant donnés deux cubes de grandes dimensions, dont a et a' soient les demi-côtés, si le premier emploie le temps / pour passer de la température A à la température B, et le second le temps /' pour ce même intervalle, les temps / et /' seront proportionnels aux carrés a^