CHAPITRE Vni. — CUBE SOLIDE

et a'^ des demi-côtés. On a trouvé un résultat semblable pour le^ sphères de grande dimension.

2° Si un cube a pour demi-côté une longueur considérable a, et qu'une sphère ait la même quantité a pour rayon, et que pendant le temps / la température du cube s'abaisse de A à B, il s'écoulera un temps différent t pendant que la température de la sphère s'abaissera de  à B; et les temps t et t seront dans le rapport de 4 à 3.

Ainsi le cube et la sphère inscrite se refroidissent également vite lorsqu'ils ont une petite dimension ; et, dans ce cas, la durée du refroidissement est, pour l'un et l'autre corps, proportionnelle à l'épaisseur. Si le cube et la sphère inscrite ont une grande dimension, la durée du refroidissement final n'est pas la même pour 4es deux solides. Cette durée est plus grande pour le cube que pour la sphère, dans la raison de 4 à 3; et, pour chacun des deux corps en particulier, la durée du refroidissement augmente comme le carré du diamètre.

On a supposé que le corps se refroidit librement dans l'air atmosphérique dont la chaleur est constante. On pourrait assujettir la surface à une autre condition et concevoir, par exemple, que tous ses points conservent, en vertu d'une cause extérieure, la température li^xe o. Les quantités n, p, q, qui entrent dans la valeur de ^ sous If^ signe cosinus, doivent être telles, dans ce cas, que nx devienne nulle lorsque œ reçoit sa valeur complète a, et qu'il en soit de même de py et de qz. Si le côté du cube 2a est représenté par tt, on pourra exprimer une valeur particulière de ^ par l'équation suivante, qui satisfait en même temps à l'équation générale du mouvement de la chaleur et à l'état de la surface,

i' =z: e ^'^ cosjc cos/ coaz.

Cette fonction est nulle, quel que soit le temps /, lorsque x, ou j, ou z reçoivent leurs valeurs extrêmes h — ou ; mais l'expression de la

température ne peut avoir cette forme simple qu'après qu'il s'est écoulé un temps considérable, à moins que l'état initial donné ne soit luimême représenté par la fonction cos^cosj'coss. C'est ce que Ton a supposé dans la Section VHI du Chapitre I (art. 100, p. 8i). L'analyse précédente démontre la vérité de l'équation employée dans l'article que l'on vient de citer.

On a traité jusqu'^ici les questions fondamentales de la Théorie de la chaleur et considéré l'action de cet élément dans les corps principaux. L'ordre et l'espèce des questions ont été tellement choisis que chacune d'elles présentât une difficulté nouvelle et d'un degré plus élevé. On a omis a dessein les questions intermédiaires, qui sont en trop grand nombre, tqjles que la question du mouvement linéaire de la chaleur dans un prisme dont les extrémités seraient retenues à des températures fixes, ou exposées à l'air atmosphérique. On pourrait généraliser l'expression du mouvement varié de la chaleur dans le cube ou le prisme rectangulaire qui se refroidit dans un milieu aériforme, et supposer un état initial quelconque i ces recherches n'exigent point d'autres principes que ceux qui sont expliqués dans cet Ouvrage.