CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR
on écrira j- au lieu de /i. Le terme général de la série qui entre dans Téquation [a) étant
e ^ sin«-r^l t(a?) sini-^- a-F,
on représentera par ~ le nombre i, qui est variable et qui devient infini. Ainsi Ton aura
V TT \ . q
X z= -7- , n=: -j-f lz= -j- *
dq dq dq
En faisant ces substitutions dans le terme dont il s'agit, on trouvera
^-^^''sin^JT / l?{x)^\tïqxdx.
(Chacun de ces termes doit être divisé par X ou ^ : il devient par là
une quantité infiniment petite, et la somme de la série n'est autre chose qu'une intégrale, qui doit être prise par rapport à çr de 7 = o à ^ = 00. Donc
(a) vz=. -e-^' / e-^'i*^i\ïiqxdq 1 ¥{x)s\nqxdx.
L'intégrale par rapport à x doit être prise de x = o a x =z x>, ce qui donne une fonction de q; et la seconde intégrale doit être prise par rapport à y de 7 = o à y = oo. On peut aussi écrire
— = e-^' I e-^^^'s'inqxdq I ¥ {a) sïn q a doi
ou
nv r* /**
-- — e-^^l ¥{oi)dix j e-''^*^s'\nqxs\nqadq.
L'équation (a) contient la solution générale de la question ; et, en substituant pour F (.r) une fonction quelconque, assujettie ou non à une loi continue, on pourra toujours exprimer en a? et / la valeur de la température : il faut seulement remarquer que la fonction F(.r) correspond à une ligne formée de deux parties égales et alternes.
Si la chaleur initiale est distribuée dans le prisme de telle manière que la ligne FFFF [fig. 17) qui représente cet état initial soit formée
Fiff. 17,
de deqx arcs égaux placés à droite et à gauche du point fixe o, le mouvement variable de la chaleur est exprimé par Téquation
— 1= e-*' / F(a) dcf. 1 e-^'^^^'cosqxcosqadq.
Si la ligne ^/^(yîg-. 18} qui représente l'état initial est formée de
Fig. 18.
deux arcs pareils et alternes, l'intégrale qui donne la valeur de tempe-
rature est
— =L €^^' I /{a)d(X I e~^^*'s\nqœs\nqadq.
Lorsqu'on supposera la chaleur initiale distribuée d'une manière quelconque, il sera facile de conclure des deux solutions précédentes l'expression de ^. En effet, quelle que soit la fonction ç (a?) qui représente la température initiale et donnée, elle se décompose toujours en deux autres F (a?) 4-/(^), dont l'une correspond à la ligne FFFF, et l'autre à la Vif^ne////^ en sorte que l'on a ces trois conditions :
