CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR

s'agit de trouver quelle sera, après un temps donné /, la température i^ d'un point dont la distance à l'origine est x.

Fîg. i6.

xf a

^rH 'A,

On considérera d'abord la barre échauffée comme ayant une longueur finie 2X, et comme étant soumise à une cause extérieure quelconque qui retient ses deux extrémités à la température constante o; on fera ensuite X = oo,

On emploiera d'abord l'équation

às^ K d*'v HL

ou

dt "" CD dx^ CDS *'

dt dx^

et, faisant

on aura

:= we-^',

du __ jrd^u dt "~ d^*

On exprimera comme il suit la valeur générale de //

faisant ensuite a? = X, ce qui doit rendre nulle la valeur de ^, on aura, pour déterminer la série des exposants g^ la condition

sin^X = o ou gX^zin^

/ étant un nombre entier. Donc

i/ = aie '^ sin -TT- -4- a,e * sma -y" H-

il ne reste plus qu'à trouver la série des constantes a,, a^, a,, — Faisant / = o, on a

TZ JC TZ ce TT «^f

u ■=. l^{x) == a|SÎn-Y~ "♦" «îSinQ -y- 4-ûf, sinS-Y" -H

Soit •^ =r, et désignons F(a7) ou F( — j par/(r); on aura

/"(r) =z a|Sinr bassina/' -+- a|Sin3/-+-

Or on a trouvé précédemment

ai= - I /{r)s\nirdr;

donc

F(a?)sini-s7-rfa\

Xa,-

L'intégrale devait être prise der = oàr = Tc; donc elle doit être prise, par rapport à x, depuis œ = o jusqu'à a? = X. En faisant ces substitutions, on forme l'équation

€ * sm-^ / ¥ {x) s\n -:^ da;

sin2-=T- I F(J7) sin2- c/^ -h. . . j .

Telle serait la solution si le prisme avait une longueur Knie représentée par 2X. Elle est une conséquence évidente des principes que nous avons posés jusqu'ici; il ne reste plus qu'à supposer la dimension X infinie. Soit X = /itc, n étant un nombre infini ; soit aussi q une variable dont les accroissements infiniment petits dq sont tous égaux;