CHAPITRE IX. — DIFFUSION DE LA CHALEUR
l'intégrale étant prise dey = oay = oo;ona donc Téquation
dq
qui a toujours lieu quelle que soit la valeur positive de x. Soit 2qx=zr, r étant une nouvelle variable, on aura
dq dr
— —— el
- = 1 sin/- — :
f sinr— est connue depuis long-
temps. Si, en supposant r négatif, on prenait la même intégrale de
r= o k r = — oc, on aurait évidemment un résultat de signe contraire
La remarque que nous venons de faire sur la valeur de Tintégralo / siny^r — , qui est - ou — -, peut servir à faire connaître la nature
de l'expression
2 r- dq
dont nous avons trouvé précédemment (art. 348) la valeur égale à i ou à o, selon que x est ou n'est pas comprise entre r et — i. En effet, on a
/dq I r . / .dq i T . , . dq
COSq.TSinq-^=z-J sin^(j? -h i) -^ ^Jsin7(x-i)-i;
le premier terme vaut j ou — 7' selon que x-\-i est une quantité
positive ou négative; le second - j s'inq{x — 1) — vaut y ou — 7»
selon que x— i est une quantité positive ou négative. Donc l'intégrale totale est nulle si ^ h- 1 et a?— 1 ont le même signe; car, dans ce cas, les deux termes se détruisent; mais, si ces quantités sont de signe différent, c'est-a-dire si l'on a en même temps ir4-i>o eto:— i<;o,
les deux termes s'ajoutent et la valeur de l'intégrale est -• Donc i'inté-
Mk
grale définie - / smqcosqx-^ est une fonction de x égale à i , si la
variable x a une valeur quelconque comprise entre i et — i ; et cette même fonction est nulle pour toute autre valeur de x non comprise entre les limites i et — i.
On pourrait déduire aussi de la transformation des séries en intégrales les propriétés des deux expressions
3 r"^ COSqjrdq 3 r* qstnqxdq
La première (art. 350) équivaut à e~^ lorsque x est positive, et à r' lorsque x est négative. La seconde équivaut à e'^ si x est positive, et à — e^ si a? est négative; en sorte que ces deux intégrales ont la même valeur lorsque x est positive, et ont des valeurs de signe contraire
Fig. JQ.
¥iQ, 30.
lorsque x est négative. L'une est représentée par la ligne eeee{Jîg. 19), l'autre par la ligne eeee (y?^. 20).
L'équation (*)
