CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. W

que nous avons rapportée (art. 226), donne immédiatement Tintégralc ^ I — __ ; — -; cette dernière expression équivaut a s\nx si x est

comprise entre o et ir, et sa valeur est nulle toutes les fois que œ surpasse TT.

La même transformation s'applique à l'équation générale

faisant « = ^» on désignera 9(m), ou î(^)> par /(^); on introduira

dans le calcul une quantité q qui reçoit des accroissements infiniment

petits, égaux kdq; n sera égal a -^ et r à —-; substituant ces valeurs dans le terme général

. ,x r ( x\ , .X dx

sm*— /q>| — isini 1

on trouvera

dq '^Wkqœ 1 /{x)s\nqxdx.

L'intégrale par rapport à u est prise deM = oàM = Tc; donc l'intégration par rapport à x doit avoir lieu de â? = o à â:^ = ni:, ou de a; nulle à 07 infinie.

On obtient ainsi un résultat général exprimé par cette équation

{e) - f{x) = I sinqxdq I /{x)sinqxdx;

c'est pourquoi, en désignant par Q une fonction de g telle que l'on ait

/(«)~ / Qsïnqudq,

équation dans laquelle f{u) est une fonction donnée, on aura

Q=- j /{u)sinqudUf

l'intégrale étant prise de u nulle à u infinie. Nous avons déjà résolu

une question semblable (art. 346) et démontré Téquation générale

(£) -F(j:)=:/ COSq:rdql ¥{jt')co^(j^r dx,

qui est analogue à la précédente.

Pour donner une application de ces théorèmes, nous supposerons f[x)=af] le second membre de l'équation (e) deviendra par cette substitution

/ sin fj.vdrj I œ^ %n\f]x dx,

L'intégrale

I x^sïncjxdx ou —^r^ f qiç^^y^'ii^Ç-cdx

équivaut à -^^ j u''sii\udu, l'intégrale élant prise de u nulle à u infinie. Soit uL cette intégrale totale

/ Wsiiiudu;

il reste à prendre l'intégrale

/ sin<7J7-^rf</ ou [xx^ j u-^'*^^"^ sïim du.

Désignant par v cette dernière intégrale prise de u nulle à u infinie, on aura pour résultat des deux intégrations successives le terme cT^ulv. On doit donc avoir, selon la condition exprimée par l'équation (e),

-X'^zilTJX'^ OU |ULV:=-;

f u''s\niidu ei f i/"''sinw— est

-' Par exemple, en faisant r= > on trouve pour / — ^ - sa va-

leur connue

vAl