CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR
On trouve de la même manière
/cosudu /t:
et, de ces équations, on pourrait aussi conclure la suivante
qui est employée depuis longtemps (').
On peut résoudre au moyen des équations [e) et (e) le problème suivant, qui appartient aussi à l'analyse des différences partielles : Quelle est la fonction Q de la varifible q qui doit être placée sous le
signe intégral pour que l'expression j Qe'^^dq soit égale à une fonction donnée, l'intégrale étant prise de q nulle à q infinie? Mais, sans s'arrêter à ces diverses conséquences, dont l'examen nous éloignerait de notre objet principal, on se bornera au résultat suivant, que l'on obtient en combinant les deux équations {e) et (e). Elles peuvent être mises sous cette forme
^f{x)z=zl sinqxdqj /{(x)sïnqoLd<x
et
-F(oc)=i/ cosqjcdq I F{a) cos q a dct.
Si l'on prenait les intégrales par rapport à a depuis —x» jusqu'à -f-oc, le résultat de chaque intégration serait doublé, ce qui est une conséquence nécessaire dés deux conditions
/(«)=-/(- «) et F(«) = F(- «); (») Pair, plus loin, art. 407. G. D.
on a donc les deux équations
et
7r/(x)=/ sinqjcdq l /{(x)siagacix irF(j7)=/ cosqxdq I ¥{(x)cosgad<x.
On a remarqué précédemment qu'une fonction quelconque f (a;) se décompose toujours en deux autres, dont Tune Ffrr) satisfait à la condition F(ir) == F(— j?), et dont l'autre /(^t?) satisfait à la condition f[x) =: — /(— x). On a aussi les deux équations
0=:/ ¥{(x)s\nqotd(x et 0=1 /(a)cosyarf«; on en conclut
sïnqa:dq j /{»)s\nqadx 4-/ COSqxdq I ¥{(x)C0Sqxdix
et
Sinqacdq I ç(«) siri^aûfa-4- / COS q a: dq 1 (f {a) cos q a dot
OU
o{a)da I (sîn^J?sin^a -hcos^xcos^a)^^ ou enfin
ç(a?) = -/ o{oL)d(x I COSq{x — (x)dq.
L'intégration par rapport à y donne une fonction de x et a, et la seconde intégration ferait disparaître la variable a. Ainsi la fonction
représentée par l'intégrale définie / cosg'(.xr — oi)dq a celte singu-
lière propriété que, si on la multiplie par une fonction quelconque 9(a) et par da, et si l'on intègre par rapport à a entre des limites infi-
