CHAPITRE IX. — DIFFUSION DE LA CHALEUR

On en conclut l'expression suivante :

On a obtenu (art. 367) l'équation

pourexprimer la loi de la diffusion de la chaleur dans une barre peu épaisse, échauffée uniformément à son milieu entre les limites données d:* = — a, a? = H- a. On avait précédemment résolu la même question en suivant une méthode différente et l'on était parvenu, en supposant a = I, à Téquation

(' = -e-'*' / e-y'^'oos^x sin7 -^ (art. 3W).

Pour comparer ces deux résultats, on supposera dans l'un et l'autre X = o; désignant encore par ']f{^) et 9(R) les mêmes intégrales qu'a l'article 366, on a

OU

D'un autre côté, on doit avoir

dq

OU

= ie-'" f e-i'*' dq ( i - -^

Or Tintégrale re~"*w^'"rfM, prise depuis m = o jusqu'à w = oo, a une

V2i THÉORIE DE LA CHALEUR.

valeur connue {voir l'article suivant) : m étant un nombre entier positif, on a en général

l'équation précédente donne donc, en faisant q^kt = u-.

' ~~ T.\lkt,h ^ "V" 2.3 Aï "^2.3.4.5 Fî« 2.3.4.5.6.7 Xr'i'"^ "7'

ou

v/^ [3 V' ^-^ ^ ^XisJktJ 1 . 2 5 \^2 sjkt) 1 . 2 . 3 7 \^2 sjkt) \

Cette équation est la même que la précédente, lorsqu'on suppose a = i . On voit par là que ces intégrales, que l'on a obtenues par des procédés différents, conduisent aux mêmes séries convergentes. On parvient aussi à deux résultats identiques quelle que soit la valeur de x.

On pourrait, dans cette question comme dans la précédente, comparer les quantités de chaleur qui, dans un instant donné, traversent différentes sections du prisme échauffé. L'expression générale de ces quantités ne contient aucun signe d'intégration; mais, sans s'arrêter à ces remarques, on terminera cette Section par la démonstration du résultat que l'on vient d'employer et la comparaison des différentes formes que l'on a données à l'intégrale de l'équation qui représente la diffusion de la chaleur dans une ligne infinie.

De l'équation connue

on conclut celle-ci