CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR

a étant une constante quelconque; on a donc

Vît*/-

OU

Cette équation a lieu quelle que soit la valeur de a. On peut développer le premier membre; et, par la comparaison des termes, on obtiendra

les valeurs déjà connues de l'intégrale /e"^5r''rfy. Cette valeur est

nulle lorsque n est impair; et Ton trouve, lorsque n est un nombre pair 2m,

I e-'i g^"*dq= •^« •• 1/7:.

Pour satisfaire à l'équation

du __ d^u

on peut supposer u = er^e^^, et en général u = e~"'^e^*^^\ on en déduit facilement (art. 364) l'intégrale

On a employé précédemment pour l'intégrale de la même équation l'expression

u =:aie-'Ȕ*'cos/i|:r H-aje"*"5^*'cos/iiJ:4- a3e~"5*'cos/ij;r

OU celle-ci

M mai e-"î*'sin/iiJt' 4- aie""î*'sin/ï,jr -h fl,e-"î*'sin/i|*r + . . . ,

a,, a^, «3, . . . et /i,, n^, n^^ ... étant deux séries de constantes

arbitraires. Il est aisé de voir que chacun^ de ces termes équivaut à

l'intégrale

/ e-^'cos/i(x -h 2q^kt)dq

OU

/ e-^* sin/i(vF -h iq\'kt)dq.

Kn effet, pour déterminer la valeur de l'intégrale

/ e"^'sin(j7 -h 'iqsfki)dq,

on lui donnera la forme suivante :

/ e-^' si n J7 COS 2 q >Jkt dq -h 1 e~^* COS jrs'iïï'iq \J kt dq

OU celle-ci :

e-^ sinxl 1 ) ^Ç -^ I e~^'cosjr{ — —=:=^ -=- ) dq,

qui équivaut à

L'intégrale /^~(^v^-^)*^y^ prise depuis q =i ^ 'Xi jusqu'à y = x, est v/t:; on a donc, pour la valeur de l'intégrale J(?~^'sin(.r -h 2^ v^7)rfy, la quantité \/T:e~^'sin^, et en général

y/7re~"*^'sin/ijc = / e-*i* %\\\n[jo '{-2q^kt)dq,

On déterminera de la même manière l'intégrale

/ e~'f* COS n{x -h 2q^kt)dqf

dont la valeur est y/ize"'*'''^ cosna;.

'év