CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR

cet examen, employons d'abord l'équation

'XSj'KtJ

qui représente la diffusion de la chaleur dans une ligne infinie. Supposons que la chaleur initiale est contenue dans une portion donnée de la ligne, depuis x=i — h jusqu'à x = -h g^ et que l'on attribue à x une valeur déterminée X, qui fixe la position d'un certain point m de cette

mI ty ^ ^C

ligne. Si le temps l croît sans limite, les termes — 7- et H — rj- qui

entrent dans l'exposant deviendront des nombres absolus de plus en plus petits, en sorte que, dans le produit

__r' ia.r a^

on pourra omettre les deux derniers facteurs, qui se confondent sensiblement avec l'unité ('). On trouvera ainsi

C'est l'expression de l'état variable de la ligne après un temps très

(1) Cette partie des raisonnements nous échappe complètement, et nous croyons même que les résultats énoncés par Fourier sont inexacts. Si, dans le produit

W Q kt c *',

on omet les doux derniers facteurs « qui se confondent sensiblement avec l'unité »y pourquoi ne pas omettre le premier qui se trouve dans les mêmes conditions ? D'ailleurs, si Ton change l'origine dos abscisses en la déplaçant d'une longueur / sur la

droite, il faudra remplacer le facteur e *' par e *' , ce qui donnerait autant de lois nouvelles que l'on attribuera de valeurs différentes à la constante /. Il nous semble qu'il serait plus exact de raisonner de la manière suivante :

(x—OD*

Lorsque t grandit indéfiniment, le facteur e ^' tend vers Tunité, et la température v tend vers l'expression asymptotique

c'est-à-dire que l'on a

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long; elle s'applique à toutes les parties de cette ligne qui sont moins

h désigne la quantité de chaleur totale B contenue dans le solide, et Ton

b> étant une quantité qui. tend vers zéro, pour chaque valeur de x, lorsque t augmente indéfiniment.

Si Ton veut avoir une expression plus approchée de v, on remplacera Texponentielle

e *' par la valeur approchée i— — ~ — -f les termes négligés étant de l'ordre de — > et l'on aura

les termes négligés étant de l'ordre de — -^ • On trouve ainsi un résultat de la forme

(^) ^^=^1(1 jj y

A et B s'exprimant par un calcul facile en fonction des intégrales

f af(0i)ii0L, f 0L^fi0L)d%.

On pourrait encore écrire au môme ordre d'approximation

(3) v-vie *'

Si l'on prenait, comme le propose Fourier,

on conserverait un terme — -r- et Ton en négligerait deux autres du même ordre ' ,

- — ; ce qui est évidemment inadmissible.

Au reste, les formules que nous proposons de substituer à celles de Fourier peuvent devenir illusoires dans le cas particulier où l'on a

c'est-à-dire où la température moyenne de la barre est nulle. Mais la méthode que nous

avons suivie demeurera encore applicable. Il suffira de déveloi^per l'exponentielle e et de conserver dans l'intégrale les premiers termes qui diffèrent de zéro. G. D.