CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR

On prendra donc pour (^ la valeur ainsi exprimée

tj--tti' (r-?>" (5-T)*

\/'t \ft s/~t

Si maintenant on multiplie le second membre par dtx, d^, dy et par une fonction quelconque /(a, p, y) des quantités a, [3, y, on trouvera, en indiquant l'intégration, une valeur de i^ formée de la somme d'une infinité de valeurs particulières multipliées par des constantes arbitraires.

11 suit de là que la fonction v peut être ainsi exprimée :

(./) ^'=j J J ^'^ *' aoi,i^,y)doLd^dy;

cette équation contient l'intégrale générale de la proposée (A). Le procédé qui nous a conduit à cette intégrale doit être remarqué, parce qu'il s'applique aux cas les plus variés; il est principalement utile lorsque l'intégrale doit satisfaire à des conditions relatives à la surface. En l'examinant avec attention, on reconnaîtra que les transformations qu'il exige sont toutes indiquées par la nature physique de la question. On peut aussi, dans l'équation (y), changer d'indéterminées; si l'on prend

i\jt i\Jt i^t

on aura, en multipliant le second membre par un coefficient constant A,

V = 2^ Afffe-^''*-*-P*-*-^*^ f{x -\-2nyft, y -\-'xp\Jlj z-\-icj\ft)dndp dq.

Prenant les trois intégrales entre les limites — ao et 4- œ et faisant / = o, afin de connaître l'état initial, on trouvera

Ainsi, en représentant les températures initiales connues par F(ar, y, :;),

et donnant à la constante A la valeur 2'*'rt ^, on parviendra à l'intégrale

« ^, -4- gs y^+ OD

qui est la même que celle de l'article 372.

L'intégrale de l'équation (A) peut être mise sous plusieurs autres formes, parmi lesquelles on choisit celle qui convient le mieux à la question que l'on se propose de résoudre.

Il faut observer en général, dans ces recherches, que deux fonctions ç(a7, y, z, i) sont les mêmes lorsqu'elles satisfont l'une et l'autre à l'équation différentielle (A) et lorsqu'elles sont égales pour une valeur déterminée du temps, il suit de ce principe que les intégrales qui se réduisent, lorsqu'on y fait ^ = o, à une fonction arbitraire F(x, j, 5) ont toutes le même degré de généralité; elles sont nécessairement identiques.

Le second membre de l'équation différentielle (a) était multiplié par

TTjTî et l'on a supposé dans l'équation (6) ce coefficient égal à l'unité.

Il suffira, pour rétablir cette quantité dans le calcul, d'écrire çjc au lieu

de /, dans l'intégrale (i), ou dans l'intégrale (I). Nous indiquerons maintenant quelques-unes des conséquences que l'on déduit de ces équations.

La fonction qui sert d'exposant au nombre e dans l'équation (y) ne peut représenter qu'un nombre absolu, ce qui suit des principes généraux du calcul, comme on l'a prouvé explicitement dans la Section IX du Chapitre II (p. i35). Si, dans cet exposant, on remplace l'indéter-

minée t par -p^f on voit que, les dimensions de K, C, D et / par rapport

à l'unité de longueur étant —1,0, — 3, et o, la dimension du déno-

minateur ^ est 2, comme celle de chaque terme du numérateur, en

sorte que la dimension totale de l'exposant est o. Considérons le cas où la valeur du temps t augmente de plus en plus; et, pour simplifier