CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR. Ul

sion. Les décroissements de la température d'un point quelconque deviennent toujours proportionnels aux accroissements du temps.

Si Ton faisait usage de Tintégrale

2 y/TT kt J

pour connaître Fétat variable des points de la ligne placés à une grande distance de la portion échauffée et que, pour exprimer cette dernière

condition, on supprimât encore le facteurs *^' , les conséquences que Ton obtiendrait ne seraient pas exactes. En effet, en supposant que la portion échauffée s'étende seulement depuis a = o jusqu'à a = g\ et que la limite g soit très petite par rapport à la distance x du point

dont on veut déterminer la température, la quantité — . , qui forme l'exposant se réduit bien à 7-77-; c'esl-à-dire que la raison des

deux quantités ^ . et -rrr approche d'autant plus de l'unité que

la valeur de x est plus grande par rapport à celle de a ; mais il ne s'ensuit pas que Ton puisse remplacer l'une de ces quantités par l'autre dans l'exposant de e. En général, l'omission des termes subordonnés ne peut avoir lieu ainsi dans les expressions exponentielles ou trigonométriques. Les quantités placées sous les signes de sinus ou de cosinus, ou sous le signe exponentiel e, sont toujours des nombres absolus, et l'on ne peut omettre que les parties de ces nombres dont la valeur est extrêmement petite; leurs valeurs relatives ne sont ici d'aucune considération. Pour juger si l'on peut réduire l'expression

doc

à celle-ci :

■**' / Aa)dcc,

il ne faut pas examiner si le rapport de a? à a est très grand, mais si. les termes -7^ > ^^ sont des nombres très petits. Cette condition a

[\kt i\kt ^

toujours lieu lorsque le temps écoulé t est extrêmement grand; mais elle ne dépend point du rapport

CfL

Supposons maintenant que Ton veuille connaître combien il doit s'écouler de temps pour que les températures de la partie du solide comprise depuis 07=0 jusqu'à a; = X puissent être représentées à très peu près par l'équation réduite

o et pétant les limites de la portion primitivement échauiïée. La solution exacte est donnée par l'équation

(0 s^^ , / e ''' /{oL)d(x

et la solution approchée est donnée par l'équation

isjTikt J.

k désignant la valeur ^^ de la conducibilité. Pour que l'équation (y) puisse être en général substituée k la précédente (i), il faut que le

iOL.r — ix*

facteur e ^^' , qui est celui que Ton omet, diffère très peu de l'unité; car, s'il était 2 ou ^, on pourrait craindre de commettre une erreur égale à la valeur calculée, ou à la moitié de cette valeur. Soit donc

(u étant une petite fraction, comme 7^ ou 7^, on en conclura la