CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. W3 condition

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et, si la plus grande valeur g que puisse recevoir la variable a est très petite par rapport à x^ on aura

On voit par ce résultat que, plus les points dont on veut déterminer la température au moyen de l'équation réduite sont éloignés de l'origine, plus il est nécessaire que la valeur du temps écoulé soit grande ( * ). Ainsi la chaleur tend de plus en plus à se distribuer suivant une loi indépendante de réchauffement primitif. Après un certain temps, la diffusion est sensiblement opérée; c'est-à-dire que l'état du solide ne dépend plus que de la quantité de la chaleur initiale, et non de la distribution qui en avait été faite. Les températures des points assez voisins de l'origine ne tardent pas à être représentées sans erreur par l'équation réduite (j); mais il n'en est pas de même des points très distants de ce foyer. On ne peut alors faire usage de la même équation que si le temps écoulé est extrêmement long. Les applications numériques rendront cette remarque plus sensible.

Supposons que la substance dont le prisme est formé est le fer, et que la portion de ce solide qui a été échauffée a o",i d'étendue, en sorte que ^= o,i. Si l'on veut connaître quelle sera, après un temps donné, la température d'un point m dont la distance à l'origine est i*", et si Ton emploie pour ce calcul l'intégrale approchée (j), on com-

(*) Les explications données plus haut montrent quo ces conclusions sont inexactes. Pour les points assez voisins do l'origine, la loi représentée par l'équation réduite Q) ne sera jamais applicable. Elle pourra, au contraire, convenir aux points très éloignés pendant

la période de temps pour laquelle - a des valeurs très petites, — ayant, au contraire, des

valeurs sensibles. " G. I).

mettra une erreur d'autant plus grande que la valeur du temps sera moindre. Cette erreur sera plus petite que la centième partie de la quantité cherchée si le temps écoulé surpasse trois jours et demi.

Dans ce cas, la distance comprise entre l'origine o et le point m dont on détermine la température est seulement dix fois plus grande que la portion échauffée. Si ce rapport est loo au lieu d'être lo, l'intégrale réduite {y) donnera la température à moins de -^ près lorsque la valeur du temps écoulé surpassera un mois. Pour que Tapproximation

soit admissible, il est nécessaire, en général, i° que la quantité — j^- —

ne puisse équivaloir qu'à une très petite fraction, comme -—^ ou ~ au plus; 2° que l'erreur qui en doit résulter ait une valeur absolue beaucoup moindre que les petites quantités que l'on observe avec les thermomètres les plus sensibles.

Lorsque les points que l'on considère sont très éloignés de la portion du solide qui a été primitivement échauffée, les températures qu*il s'agit de déterminer sont extrêmement petites; ainsi l'erreur que l'on commettrait en se servant de l'équation réduite aurait une très petite valeur absolue; mais il ne s'ensuit pas que l'on soit autorisé à faire usage de cette équation; car, si l'erreur commise, quoique très petite, surpasse ou égale la quantité cherchée, ou même si elle en est la moitié, ou le quart, ou une partie notable, l'approximation doit être rejetée. Il est manifeste gue, dans ce cas, l'équation approchée {y) n'exprimerait point l'état du solide, et que l'on ne pourrait point s'en servir pour déterminer les rapports des températures simultanées de deux ou plusieurs points.

Il suit de cet examen que l'on ne doit point conclure de l'intégrale

r^-— :. / e *^' /{oc)da

que la loi de la distribution primitive n'inQue pas sur la température des points très éloignés de l'origine. L'effet résultant de cette distri-