CHAPITRE IX. - DIFFUSION DE LA CHALEUR. W

l'état du solide est le même que si elle avait été primitivement réunie dans un seul point à l'origine des coordonnées. Le temps qui doit s'écouler pour que ce dernier effet ait lieu est extrêmement grand lorsque les points de la masse sont très éloignés de l'origine. Chacun de ces derniers points, qui avait d'abord la température o, s'échauffe insensiblement; sa température acquiert ensuite la plus grande valeur qu'elle puisse recevoir (^); et elle finit par diminuer de plus en plus jusqu'à ce qu'il ne reste dans la masse aucune chaleur sensible. L'état variable est en général représenté par l'équation

(E) v^\ / / — -—^——f{a,h,c)dadbdn

J J J 2 y 71^ 2^71^ 2\jT:t

les intégrales doivent être prises entre les limites

a = — a,, «=:a,; 6=: — b^ b=-bx\ c = — C|, c=zc^.

Les limites —a,, h- a^, — -^i» -f-^a» — ^i» -+-^2 sont données; elles comprennent toute la portion du solide quia été primitivement échauffée. La fonction/(a, 6, c) est aussi donnée ; elle exprime la température initiale du point dont les coordonnées sonta, b^ c. Les intégrations définies font disparaître les variables a, b, c et il reste pour t' une fonction de ce, J, z, t et des constantes. Pour déterminer le temps 0 qui répond au maximum de t', en un point m donné, il faut tirer de l'équa-

tion précédente la valeur de -j-; on formera ainsi une équation qui

contient 0 et les coordonnées du point m. On en pourra donc déduire la valeur de 0, Si l'on substitue ensuite cette valeur de 0 au lieu de / dans l'équation (E), on connaîtra la valeur de la plus haute température V exprimée en a?, y, z et en constantes. On écrira, au lieu de l'équation (E),

V = fff^f{ciy b, c) da db de,

(*) Il ne parait pas certain que la température passe par un seul maximum; il pourrait y avoir, au moins en certains points^ toute une succession de maxima et de minima.

en désignant par P le produit des trois fonctions semblables; on aura ensuite

Tt^-l'i-^J JJ kl} fna.b.c)dadbdc.

Il faut maintenant appliquer cette dernière expression aux points (lu solide qui sont très éloignés de Torigine. Un point quelconque de la portion qui contient la chaleur initiale a pour coordonnées les variables a, h, c; et le point m dont on veut déterminer la température a pour coordonnées^,/, z. Le carré de la distance de ces deux points est [a — 37)^4- [b — j)^-i- [c — s)', et cette quantité entre comme facteur dans le second terme de ^- Or, le point m étant très éloigné de

Torigine, il est évident que sa distance A à un point quelconque de la portion échauffée se confond avec la distance D de ce même point à Torigine; c'est-à-dire que, le point m s'éloignant de plus en plus du foyer primitif qui contient l'origine des coordonnées, la dernière raison des distances D et A est i .

Il suit de là que, dans l'équation (e) qui donne la valeur de -^r ''

faut remplacer le facteur(a — x)^-h(6 — j)^-f-(c — 5)'* par x^-i- y^-^rz^

ou r^, en désignant par r la distance du point m à l'origine. On aura

donc

dv 3 V '•'

ou

dt \W 2tJ

Kt

Si l'on met pour v sa valeur et si l'on remplace / par t^> afin de rétablir

le coetlicient ^Tt que l'on avait supposé égal à i , on aura

(^'^ dî='U[Ki) -ZKi\[ï^t) J J J ' Aa,b,c)dadbdc