CHAPITRE IX.- DIFFUSION DE LA CHALEUR

fe "^ exprime les températures permanentes que prendraient les différents points de la barre si Ton affectait l'origine d'une température fixe/, comme on peut le voir dans le Chapitre I (art. 76, p. 55). Il faut donc, pour se représenter la valeur de V, concevoir que toute là chaleur initiale que le foyer contient est également distribuée dans une portion de la barre dont la longueur est b, ou l'unité de mesure. La température /qui en résulterait pour chaque point de celte portion est, en quelque sorte, la température moyenne. Si l'on supposait que la tranche placée à l'origine fût retenue pendant un temps infini à la température constante /, toutes les autres tranches acquerraient des

températures fixes dont l'expression générale est/e ^^, en désignant para? la distance delà tranche. Ces températures fixes, représentées par les ordonnées d'une logarithmique, sont extrêmement petites lorsque la distance est- un peu considérable; elles décroissent, comme on le sait, très rapidement à mesure que l'on s'éloigne de l'origine. Or l'équation (S) fait voir que ces températures fixes, qui sont les plus hautes que chaque point puisse acquérir, surpassent beaucoup les plus hautes températures qui se succèdent pendant la diffusion de la chaleur. Pour déterminer ce dernier maximum , il faut calculer la valeur du maximum fixe, la 'multiplier par le nombre constant

(|7— y -tLt, et diviser par la racine carrée de la distance x.

Ainsi les plus hautes températures se succèdent dans toute l'étendue de la ligne comme les ordonnées d'une logarithmique divisées par les racines carrées des abscisses, et le mouvement de l'onde est uniforme. C'est suivant cette loi générale que la chaleur réunie en un seul point se propage dans le sens de la longueur du solide.

Si l'on regardait comme nulle la conducibilité de la surface extérieure du prisme, ou si la conducibilité K ou l'épaisseur 2g était supposée infinie, on obtiendrait des résultats très différents. On

omettrait alors le terme =7- ac*. et l'on aurait

!^? = i:r« et \^ jL ' CI) a y^2 7re "^

Dans ce cas, la valeur du maximum est en raison inverse de la distance; ainsi le mouvement de l'onde ne serait point uniforme, llfaut remarquer que cette hypothèse est purement théorique et que, si la conducibilité H n'est pas nulle, mais seulement une quantité extrêmement petite, la vitesse de Tonde n'est point variable dans les parties du prisme qui sont très éloignées de l'origine. En effet, quelque petite que soit la valeur de H, si cette valeur est donnée, ainsi que celles de K et g, et si l'on suppose que la distance x augmente sans limite, le

terme ît^^^ deviendra toujours beaucoup plus grand que \. Les distances peuvent d'abord être assez petites pour que ce terme jr-^^t* doive

être omis sous le radical : alors les temps sont proportionnels aux carrés des distances; mais, à mesure que la chaleur s'écoule dans le sens de la longueur infinie, la loi de la propagation s'altère, et les temps deviennent proportionnels aux distances. La loi initiale, c'est-à-dire celle qui se rapporte aux points extrêmement voisins du foyer, diffère beaucoup de la loi finale qui s'établit dans les parties très éloignées et jusqu'à l'infini; mais, dans les portions intermédiaires, les plus hautes températures se succèdent suivant une loi mixte, exprimée par les deux équations précédentes (C) et (D).

Il nous reste à déterminer les plus hautes températures pour le cas où la chaleur se propage à l'infini et en tout sens dans la matière solide. Cette recherche ne présente aucune difficulté d'après les principes que nous avons établis.

Lorsqu'une portion déterminée d'un solide infini a été échauffée, et que toutes les autres parties de la masse ont la température initiale o« la chaleur se propage dans tous les sens et, après un certain temps.