CD , CD ■ CD

Or il ne suffit pas que le rapport - soit toujours un très grand nombre

pour que l'on puisse supprimer les deux premiers facteurs ; par exemple, si l'on suppose a égal à o™,î et x égal à lo"*, et si la substance dans laquelle la chaleur se propage est le fer, on voit qu'après

CD

neuf ou dix heures écoulées le facteur e^^^ est encore plus grand que 2; donc, en le supprimant, on s'exposerait à réduire le résultat

cherché à la moitié de sa valeur. Ainsi la* valeur de -t-> telle qu'elle

convient aux points très éloignés de l'origine, et pour un temps quelconque, doit être exprimée par l'équation (a); mais il n'en est pas de même si l'on ne considère que des valeurs du temps extrêmement grandes et qui croissent proportionnellement au carré des distances. Il faut, d'après cette condition, omettre sous le signe exponentiel même les termes qui contiennent a, ou 6, ou c. Or la condition a lieu lorsqu'on veut déterminer la plus haute température qu'un point éloigné puisse acquérir, comme nous allons le prouver.

En effet, la valeur de g- doit être nulle dans le cas dont il s'agit; on aura donc

r«/CpY__3 CD 4 \Kt) 2 Kr""^

ou rq^ =1 7T /•*.

Ainsi le temps qui doit s'écouler pour qu'un point très éloigné acquière sa plus haute température est proportionnel au carré de la distance de ce point à l'origine ( * ).

Si, dans l'expression de v, on remplace ^-j-- par sa valeur — ;5» l'exposant de e~* , qui est

3 (a-a-)«-h{6-.rr-+-(c-:;)*

peut se réduire à |, parce que les facteurs que l'on omet se confondent avec l'unité.

On trouve, par conséquent,

L'intégrale j j j f[a,b,c)dadbdc représente la quantité de chaleur initiale; le volume de la sphère dont le rayon estr estluA^, en sorte

( 1) Si, dans l'expression exacte

v^ — i— j / / le • *»^' f{a,b,c)dadbdc.

on prend la dérivée par rapport à t^ on trouve

Supposons, pour fixer les idées, la température primitive /(«. b, c) toujours positive. L'intégrale précédente no pourra être nulle que si le facteur

change de signe dans les limites des intégrations et, par conséquent, s'annule pour un point (^, 7], ^) compris dans l'intérieur du parallélépipède primitivement échauffé. On a donc pour / la valeur

qui devient sensiblement proportionnelle à j7»-f-^«H- z* lorsque le point (.«', j, z) s'éloigne indéfiniment. G. D.