CHAPITRE I. - INTRODUCTION

Si Ton suppose que la température initiale de toutes les parties de ce corps soit è, on voit que la chaleur qui sort du foyer A se propagera de plus en plus et élèvera la température des molécules comprises entre les deux plans; mais, celle du plan supérieur ne pouvant, d'après l'hypothèse, être plus grande que 6, la chaleur se dissipera dans la masse plus froide dont le contact retient le plan B à la température constante b. Le système des températures tendra de plus en plus à uo état final qu'il ne pourra jamais atteindre, mais qui aurait, comme on va le prouver, la propriété de subsister lui-même et de se conserver sans aucun changement s'il était une fois formé.

Dans cet état final et fixe que nous considérons, la température permanente d'un point du solide est évidemment la même pour tous les points d'une même section parallèle à la base; et nous allons démontrer que cette température fixe, qui est commune à tous les points d'une section intermédiaire, décroît en progression arithmétique depuis ia base jusqu'au plan supérieur, c'est-à-dire qu'en représentant les températures constantes a et 6 par les ordonnées Aa et Bp {Jîg> i),

Fîg. I.

élevées perpendiculairement sur la distance AB des deux plans, les températures fixes des couches intermédiaires seront représentées par les ordonnées de la droite a[} qui joint les extrémités a et P; ainsi, en désignant par ^ la hauteur d'une section intermédiaire ou la distance perpendiculaire au plan A, par e la hauteur totale ou la distance AB et par ^ la température de la section dont la hauteur est z, on doit avoir l'équation

liO THÉORIE DE LA CHALEUR.

En effet, si les températures étaient établies d'abord suivant cette loi et si les surfaces extrêmes A et B étaient toujours retenues aux températures a etb, il ne pourrait survenir aucun changement dans Télat du solide. Pour s*en convaincre, il suffira de comparer la quantité de chaleur qui traverserait une section intermédiaire A' à celle qui, pendant le même temps, traverserait une autre section B',

En se représentant que Tétat final du solide est formé et subsistant, on voit que la partie de la masse qui est au-dessous du plan A' doit communiquer de la chaleur à la partie qui est au-dessus de ce plan, puisque cette seconde partie est moins échauffée que la première.

Imaginons que deux points du solide m et m\ extrêmement voisins l'un de l'autre et placés d'une manière quelconque, l'un m au-dessous du plan A' et l'autre /w' au-dessus de ce plan, exercent leur action pendant un instant infiniment petit : le point le plus échauffé m communiquera km' une certaine quantité de chaleur qui traversera ce plan A'. Soient x, y, z les coordonnées rectangulaires du point /w, et x\ y\ z' les coordonnées du point m'; considérons encore deux points n et n' extrêmement voisins l'un de l'autre et placés par rapport au plan B', de même que m et m! sont placés par rapport au plan A' : c'est-à-dire qu'en désignant par ^ la distance perpendiculaire des deux sections A' et B', les coordonnées du point n seront or, j', 2 -h ^ et celles du point n' seront x\y\ jz'h-C Les deux distances mm!, et nn' seront égales; de plus, la différence de la température v du point m à la température s^' du point m! sera la même que la différence des températures des deux points n et n\ En effet, cette première différence se déterminera en substituant s, et ensuite z\ dans l'équation générale

et retranchant la seconde équation de la première. On en conclura

on trouvera ensuite, par les substitutions de 2 -h î et s' 4- ^, que l'excès