CHAPITRE IL ~ ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Il résulte du corollaire énoncé dans l'article 141 que le flux dans le sens de la normale, ou la quantité de chaleur qui traverserait pendant riustant dt la surface co, si on la plaçait en un point quelconque de cette ligne perpendiculairement à sa direction, est proportionnel au quotient que Ton obtient en divisant la différence de température do deux points infiniment voisins par leur distance. Donc l'expression de ce flux à l'extrémité de la normale est

— K w dty

K désignant la conducibilité spécifique de la masse. D'un autre côté, la surface co laisse échapper dans l'air, pendant l'instant dt^ une quantité de chaleur égale à

h étant la conducibilité relative à l'air atmosphérique. Ainsi le flux de chaleur à l'extrémité de la normale a deux expressions différentes,

savoir : hvd} rf/ et — K ^^"~ o)rf/; donc ces deux quantités sont égales,

et c'est en exprimant cette égalité que l'on introduira dans le calcul la condition relative à la surface.

On a

5, dv ^ dv ^ dv ^

Ox ôy *^ az

Or il suit des principes de la Géométrie que les coordonnées Sa?, Sj, cz, qui fixent la position du point v de la normale par rapport au point [iL, satisfont aux conditions suivantes :

On a donc

pdjc =1 m Sz, pdyzzzn dz.

on a aussi

r OU

en désignant par q la quantité (w^ -h n^-hp^)' ; donc

a \ djc dy àzjq^

par conséquent l'égalité

hv (,)dl^=: — K ( ](M)dt

devient la suivante :

^, di* (?!' ^i' h

âx ôv az K

Cette équation est déterminée et ne s'applique qu'aux points de la surface; elle est celle que l'on doit joindre à l'équation générale de la propagation de la chaleur (A) et à la condition qui détermine l'étal initial du solide ; m, n, p, q sont des fonctions connues des coordonnées des points de la surface.

L'équation (B) signifie, en général, que le décroissement de la température dans le sens de la normale, à l'extrémité du solide, est tel que la quantité de chaleur qui tend à sortir en vertu de l'action des

(H II va ici une remarque essentielle à faire. L*équation

n'est exacte dans tous les cas que si l'on convient de donner un signe convenable au

radical

La valeur de $z étant parfaitement déterminée quand on passe du point u au point v el a étant la distance des deux points u et v, il faudra donner au radical un signe tel que la valeur de a soit positive. Au reste nous reviendrons plus loin sur ce sujet. G. 1).