CHAPITRE IL - EQUATIONS DIFFERENTIELLES

molécules équivaut toujours a celle que le corps doit prendre dans le milieu.

On pourrait concevoir que la masse du solide soit prolongée, en sorte que la surface, au lieu d'être exposée à Tair, appartienne à la fois au corps qu'elle termine et à une enveloppe solide qui le contient. Si, dans cette hypothèse, une cause quelconque réglait à chaque instant le décroissement des températures dans Tenveloppe solide et la déterminait de manière que la condition exprimée par l'équation (B) fût toujours satisfaite, l'action de l'enveloppe tiendrait lieu de celle de l'air, et le mouvement de la chaleur serait le même dans l'un et l'autre cas; on peut donc supposer que cette cause existe et déterminer, dans cette hypothèse, l'état variable du solide : c'est ce que l'on fait en employant les deux équations (A) et (B).

On voit par là comment l'interruption de la masse et l'action du milieu troublent la diffusion de la chaleur en l'assujettissant à une condition accidentelle.

On peut aussi considérer sous un autre point de vu^ cette équation (B) qui se rapporte à l'état de la surface; il faut auparavant déduire une conséquence remarquable du théorème III (art. 140). Nous conserverons la construction rapportée dans le corollaire du même théorème (art. 141). Soient x,y, z les coordonnées du point /> et

celles d'un point q, infiniment voisin dep et marqué sur la droite dont il s'agit. Désignons par ç^ et w les températures des deux points /> et g prises pour le même instant; on aura

ôx dy '^ âz

donc le quotient t- est donné par l'équation

de

$if di^ èx di^ à y ()v oz

de dx de dy àe âz as

oi Ton a d'ailleurs

ainsi la quantité de chaleur qui s'écoule à travers la surface a>, placée au point m perpendiculairement à la droite, est

\(7vP 0£ aj' Oe (75 Oc/

Le premier terme est le produit de — Ky parcfe et par oj-^- Cette

dernière quantité est, d'après les principes de la Géométrie, Taire de la projection de (o sur le plan des j^s; ainsi le produit représente la quantité de chaleur qui s'écoulerait à travers l'aire de la projection, si on la plaçait au point/? perpendiculairement à l'axe des x.

Le second terme — K-pCo^*^^ représente la quantité de chaleur

qui traverserait la projection de co, faite sur le plan des xz^ si l'on plaçait cette projection au point/? parallèlement à elle-mênae.

Enfin, le troisième terme — K-r^co — rf/ représente la quantité de

chaleur qui s'écoulerait pendant l'instant dty à travers la projection de co sur le plan des xy^ si l'on plaçait cette projection au point p perpendiculairement à la coordonnée z.

On voit par là que la quantité de chaleur qui s'écoule à tras^ers chaque partie infiniment petite d'une surface tmcée dans l'intérieur du solide peut toujours être décomposée en trois autres , qui pénétrent les trois projections orthogonales de la surface selon les directions perpendiculaires aux plans des projections. Ce résultat donne naissance à des propriétés analogues à celles que l'on remarque dans la théorie des forces.

La quantité de chaleur qui s'écoule à travers une surface plane infiniment petite (o, donnée de figure et de position, étant équivalente à celle qui traverserait ses trois projections orthogonales, il s'ensuit que, si l'on conçoit dans l'intérieur du solide un élément d'une figure quel-